Квантовый эффект Холла Открытие классического эффекта

Квантовый эффект Холла

Открытие классического эффекта Холла (Hall effect) датируется XIX столетием. Он возникает, когда полоску проводящего материала помещают в магнитное поле и пропускают через нее электрический ток, как это показано на рис. 1

Примечательно, что сопротивление Холла не зависит от формы образца. Оно увеличивается с ростом магнитного поля линейно по В,

Вообще, i=p/q , где p и q — целые положительные числа, причем числа q —нечетные. Даниель Цуи, Хорст Стюрмер и Артур Госсард

Исчезновение продольного сопротивления R свидетельствует об отсутствии в системе рассеяния энергии. Таким образом, разумно ожидать существования энергетического зазора между основным состоянием системы и ее первым возбужденным состоянием. Это дает ключ к пониманию квантового эффекта Холла. Под действием силы Лоренца электроны, движущиеся перпендикулярно магнитному полю, вынуждены изменять траектории своего движения на круговые орбиты, по которым они вращаются с угловой частотой c=e. B/m, называемой циклотронной частотой. Это приводит к тому, что разрешенные для таких электронов энергетические состояния становятся квантованными. Такие квантованные уровни энергии известны как уровни Ландау (Landau levels). Их энергии равны Ei=(i+1/2)

В этом отношении двумерный электронный газ существенно отличается от электронов, свободно движущихся в трех измерениях. Движение в третьем направлении (вдоль магнитного поля) приводит к тому, что энергия электрона становится равной сумме энергии одного из уровней Ландау и кинетической энергии его движения в этом направлении. Так кинетическая энергия является непрерывной функцией скорости электрона, то плотность электронных состояний в зазорах между уровнями Ландау становится отличной от нуля. По этому в трехмерных структурах не наблюдается никаких энергетических зазоров, и предпосылки для появления квантового эффекта Холла отсутствуют.

Удивительно, но для экспериментального наблюдения квантового эффекта Холла необходимо наличие в образце структурных несовершенств или примесей. Они приводят к уширению уровней Ландау. Около каждого уровня формируется зона так называемых расширенных состояний (extendedstates), которые по своей природе являются делокализованными. Когда расширенные состояния заполняются электронами, некоторые из электронов захватываются ловушками, что означает их локализацию. Образующиеся таким образом локализованные состояния (localized states) расположены в энергетических промежутках между расширенными состояниями.

В магнитном поле локализованные состояния могут существовать только в том случае, если их энергии находятся в промежутках между уровнями Ландау, тоесть вне зоны расширенных состояний (заштрихованные области). Таким образом, структурные дефекты преобразуют дискретные уровни Ландау в зоны расширенных состояний, разделенных зонами локализованных состояний. Электроны в локализованных состояниях не участвуют в переносе заряда через структуру; это могут делать только электроны в расширенных состояниях. Границу между локализованными и расширенными состояниями называют границей подвижности

Расширенные состояния окружают дефекты и простираются вдоль поверхностной границы образца, формируя так называемые граничные состояния (edge states), которые фактически представляют собой одномерные каналы для электрического тока. Реальные образцы могут иметь достаточно сложную топологию таких проводящих каналов, воспроизводящую рельеф потенциальной энергии, обусловленный структурными дефектами, примесями и границами образца. Как было показано, квантование сопротивления Холла определяется количеством занятых уровней Ландау, которое называется фактором заполнения (filling factor). При упрощенном рассмотрении величина RH=h/(ie 2)=(h/e)/(ie) получается как отношение кванта магнитного потока h/e к произведению элементарного заряда e на фактор заполнения i.

Отметим, что кванты магнитного потока можно рассматривать при этом как элементарные частицы, посредством которых магнитное поле взаимодействует с системой электронов. Поэтому появление в формуле для RH целого числа, I выглядит естественным и объясняет целочисленный квантовый эффект Холла. Переносом носителей заряда через целое число полностью занятых уровней Ландау, разделенных заполненными локализованными состояниями. В терминах граничных состояний квантование сопротивления Холла означает, что в перенос носителей вовлечены I одномерных каналов, причем в клад каждого канала в проводимость равен e 2/h.

Для объяснения дробного квантового эффекта Холла необходимо предположить частичное заполнение уровней Ландау. Кроме того, энергетические зоны при этом должны иметь другую, не имеющую отношения к уровням Ландау, природу. Дробный квантовый эффект Холла связан с взаимодействием между электронами, поэтому он называется «многочастичным эффектом» или «эффектом электронных корреляций» , поскольку электроны, будучи одинаково заряженными частицами, избегают располагаться близко друг к другу, то есть являются «коррелированными» — взаимозависимыми. Вследствие взаимного отталкивания электроны, чтобы располагаться как можно дальше друг от друга, занимают не все, а лишь часть уровней Ландау в образце.

Если, однако, к одному из заполненных уровней добавляется еще один электрон, то его энергия из-за кулоновского отталкивания будет заметно больше, потому что он будет ближе к своим соседям, чем все другие элек- троны. Так возникает энергетический зазор между частично занятым состоянием и состоянием с более высокой энергией. Идея о частичном заполнении уровней Ландау привела физикатеоретика Роберта Лафлина к заключению, что электроны в двумерном электронном газе, помещенном в сильное магнитное поле, конденсируются в новое коллективное состояние — квантовую жидкость (подобно тому как формируются коллективные состояния в сверхтекучем гелии). Квант магнитного потока и электрон образуют квазичастицу, которая несет дробный заряд. Такие квазичастицы не подчиняются ни статистике Ферми–Дирака, ни статистике Бозе– Эйнштейна, а описываются специальной (так называемой дробной) статистикой.