Квантовая теория электронных состояний

Квантовая теория электронных состояний в металлах n Потенциальная энергия электронов в металлах является плавной функцией, слабо зависящей от координаты. Поэтому ее можно положить равной константе и отсчитывать от нее энергии электронов. n Тогда уравнение Шредингера для электрона в металле становится подобным уравнению Шредингера для свободного электрона в пустом пространстве.

Решение уравнения Шредингера n Волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера – плоская волна, n нормированная на объем кристалла V=L 3

Граничные условия n Волновой вектор удовлетворяет граничным условиям Борна-Кармана n и является квантовым числом данной задачи

Уровни энергии n Поскольку значения волнового вектора квантуются, то соответственно квантуется и энергия электрона проводимости в металле. n Состояние электрона определяется четырьмя квантовыми числами: n nx, ny, nz и s - спин. n Собственные значения энергии состояний с волновым вектором k равны

Пространство квантовых чисел n Поверхность равных значений энергии имеет форму сферы радиусом n

Квантовые состояния n Число квантовых состояний, энергии которых не превышают значения E определяется двойным (за счет спина) n объемом сферы радиуса n

Плотность состояний n Производная от N по энергии E , деленная на объем кристалла, дает число состояний в единичном интервале энергии, т. е. плотность состояний (E)

Уровень Ферми n Если концентрация электронов равна n, то n. V – есть число свободных электронов в образце объема V. n Вследствие принципа Паули при абсолютном нуле электроны располагаются по одному в каждом состоянии на самых низких энергетических уровнях и поэтому все состояния с энергией Е , меньшей некоторого значения E F (0) , заполн электронами, а состояния с Е > E F (0) остаются незанятыми электронами. n Энергия E F (0) называется уровнем Ферми при абсолютном нуле температуры.

Поверхность Ферми n Изоэнергетическая поверхность в k – пространстве, отвечающая значению энергии, равному EF , называется поверхностью Ферми. В случае свободных электронов эта поверхность имеет форму сферы. При абсолютном нуле температуры поверхность Ферми отделяет состояния, заполненные электронами, от незаполненных состояний. n k. F – фермиевское волновое число

Плотность состояний (E) как функция энергии Заштрихованная площадь дает число состояний, заполненных электронами при абсолютном нуле. n EF (0) – уровень Ферми n TF – температура Ферми

Средняя энергия электронов при абсолютном нуле температуры

Число состояний, заполненных электронами n Нагревание металла сопровождается переходом электронов с уровней, примыкающих к уровню Ферми, на уровни, лежащие выше В результате резкий край . заштрихованной фигуры на рисунке размывается. n Кривая заполнения уровней электронами примет в этой области вид, показанный пунктирной линией. Площадь под кривой остается той же, какой она была при абсолютном нуле (эта площадь равна n V ). Область размытия имеет ширину порядка k. T.

Статистика Ферми - Дирака при абсолютном нуле

Уровень Ферми n при 0 К уровень Ферми EF совпадает с верхним заполненным электронами уровнем E F (0 ). n Независимо от значения температуры, при энергии Е = EF функция Ферми-Дирака равна ½, т. е. вероятность заполнения уровня Ферми составляет 50%. n Следовательно, уровень Ферми совпадает с тем энергетическим уровнем, вероятность заполнения которого равна половине.

Концентрация электронов в кристалле. Интеграл Ферми – Дирака

Вырожденный и невырожденный электронный газ 1) Если Т ТF , то есть k. T<<ЕF , то электронный газ называется вырожденным 2) Если Т>>ТF , то есть k. T>>ЕF , то электронный газ называется невырожденным У металлов E F ~ 50000 э. В , что намного больше тепловой энергии даже при Т~1000 K. Поэтому в металлах электронный газ вырожден даже при температуре, близкой к температуре плавления.