Квантовая статистика
Числа заполнения • Приближение: электронный газ в кристалле считают идеальным газом. • Состояние системы задается с помощью чисел заполнения. • Числа заполнения N указывают степень заполнения квантового состояния.
Квантовое состояние зависит от спина частиц. Все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса.
Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) подчиняются статистике Ферми — Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым или целочисленным спином (фотоны) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.
Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин — полуцелый), а из четного — бозонами (суммарный спин целый).
• Для систем частиц, образованных бозонами числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, . . . • Для систем частиц, образованных фермионами числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. • Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы
Идеальный газ из бозонов описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна:
(Ni) — среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая температура, μ — химический потенциал; ( μ не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. )
• Идеальный газ из фермионов описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака:
• Если , то распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана: где
• Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.
Вырождение • Система частиц называется вырожденной, если ее свойства отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. • Вырождение газов становится существенным при низких температурах и больших плотностях.
• Температурой вырождения То называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц. • Если Т > То, то поведение системы частиц описывается классическими законами.
Вырожденный электронный газ в металлах • По квантовой теории электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. • Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице» .
Максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К, называется энергией Ферми и обозначается EF.
, поэтому:
Для металлов: Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда вырожден.
Для электронов в металле т. е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден. (Чтобы снять вырождение, надо нагреть, но сначала металл расплавится)
При небольшое число электронов с энергией, близкой к EF, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше EF. При Т = 300 К (27 С) k. T = 0, 025 э. В.
В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре 300 К это от общего числа электронов.
Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы (Основные понятия из теории газов) Уравнение Майера:
• Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме Cv: • Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении :
i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: R – газовая постоянная; R = 8, 31
Эксперимент не соответствует классической теории. (Н 2: i = 3 + 2 = 7) Причина: надо учитывать квантование. При низкой температуре «замораживаются» вращательные степени свободы, при высокой «возбуждаются» колебательные степени сво- свободы.
Зависимость теплоемкости газов от температуры
Теплоемкость твердых тел Отсутствие заметной разницы между теплоемкостями металлов и диэлектриков, не объяснено классической теорией. Причина отсутствия разницы: в процессе нагревания металла участвует лишь незначительная часть всех электронов проводимости.
Модель твердого тела: кристаллическая решетка, в узлах атомы колеблются около своих положений равновесия в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Атомам приписывается три колебательных степени свободы, каждая обладает энергией k. T.
Молярная теплоемкость химически простых твердых тел: Этот закон носит название закона Дюлонга и Пти.
Молярная теплоемкость твердых химических соединений : Этот закон носит название закона Неймана – Коппа.
Если твердое тело является химическим соединением (например, Na. CI), то число частиц в моле не равно постоянной Авогадро, а равно, где п — число атомов в молекуле.
Расхождение с экспериментом: вблизи нуля Кельвина теплоемкость пропорциональна , и только при достаточно высоких температурах выполняется условие 3 R:
Зависимость теплоемкости от температуры
Расхождение опытных и теоретических значений теплоемкостей объяснили А. Эйнштейн и П. Дебай Эйнштейн: колебания атомов в узлах решетки независимы; Дебай: атомы решетки – упругая среда, один атом «тянет» следующий.
• При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна. Стоячие волны могут возникать лишь для частот (или длин волн), удовлетворяющих определенным условиям.
Наименьшая длина волны, возбуждаемая в кристалле, равна: λmin ≈ 2 d Молярная теплоёмкость, кристалла по Дебаю (в области низких температур): θD – характеристическая температура Дебая–
TD —характеристическая температура Дебая. определяется соотношением: kθD = ЋωD где - предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки.
Квантование упругих волн привело к пред- представлению о фононах.
Фононы • Фононы – квазичастицы; это кванты энергии звуковой волны. • Квазичастицы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле
• Колебания кристаллической решетки можно представить как фононный газ, заключенный в пределах образца кристалла.
• Для фононов не выполняется закон сохранения импульса. • Фононы являются бозонами (их спин равен нулю).
• Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в кристалле u=d /dр
Теплопроводность • Закон Фурье: Количество теплоты d. Q, перенесенное через поверхность площадью S, перпендикулярную направлению теплового потока, за время dt, равно d. Q=- (d. T/dx)Sdt, где - теплопроводность; d. T/dх - градиент температуры. Знак минус в формуле показывает, что направление теплового потока противоположно вектору градиента температуры.
Квантовая теория электропроводности металлов • Удельная проводимость металла по классической теории: • Удельная проводимость металла по квантовой теории:
Здесь: n — концентрация электронов проводимости в металле; — средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми; —средняя скорость теплового движения такого электрона.
Рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, связанных с тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов с фононами.
• Идеальная кристаллическая решетка «электронные волны» не рассеивает. • В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности.
В области комнатных температур , поэтому, учитывая независимость от температуры, получим, что сопротивление металлов в соответствии с данными опытов растет пропорционально Т.
Сверхпроводимость
Открытие сверхпроводимости • Открыл явление В 1911 г. голландский физик X. Камерлинг-Оннес
Критическая температура Начало падения —Tc 0, конец — Tce Критическая температура Tc обозначает середину перехода
температура сверхпроводящего перехода, Tc
Температуры кипения Tb, К, и плавления Tm, К
Эффект Мейснера заключается в том, что постоянное магнитное поле выталкивается из сверхпроводящего образца.
Ножки стоят в жидком гелии, а чашечка находится в парах гелия для поддержания сверхпроводящего состояния. Магнитное поле отталкивает постоянный магнит и компенсирует его вес.
Как убедиться
Фазовый переход • При достижении критической температуры происходит фазовый переход II рода и зависимость энергии от температуры меняется от нормальной к сверхпроводящей.
Теплоемкость При сверхпроводящем фазовом переходе электрическое сопротивление и теплоемкость меняется скачком, а энергия — непрерывно.
Два типа электронов сверхпроводник – это как смесь двух электронных жидкостей — нормальной и сверхпроводящей. Доля сверхпроводящих электронов зависит только от температуры. Когда металл охлаждается до критической температуры, то появляются сверхпроводящие электроны, а при абсолютном нуле все электроны являются сверхпроводящими.
Сверхпроводник, через который течет постоянный ток, можно представить в виде эквивалентной электрической схемы: Нулевое сопротивление шунтирует цепь, и весь ток идет по сверхпроводящей ветви.
переход в магнитном поле Переход в магнитном поле требует затраты энергии на выталкивание магнитного поля из образца.
Фазовая диаграмма перехода нормальный металл — сверхпроводник Штриховыми стрелками показаны возможные пути фазового перехода при изменении температуры и/или напряженности магнитного поля
Критический ток Если по сверхпроводнику пропускается ток, то этот ток будет создавать свое магнитное поле, которое столь же разрушающе будет действовать на сверхпроводимость. Все токи в сверхпроводниках поверхностные, они текут в тонком слое вблизи границы сверхпроводника с нормальной фазой.
Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник Напряженность внешнего магнитного поля и плотность тока экспоненциально убывают, распространяясь на глубину, которую обозначают λL и называют лондоновской глубиной проникновения.
Чем выше температура, тем глубже проникает в сверхпроводник магнитное поле сверхпроводимость — это свойство системы атомов, а не отдельных атомов.
Промежуточное состояние (Увеличение магнитного поля)
Образец разбивается на чередующиеся нормальные и сверхпроводящие зоны и «пропускает» поле через свои нормальные области. (Л. Д. Ландау)
Схематическое изображение промежуточного состояния сверхпроводящей пластины, ориентированной перпендикулярно магнитному полю:
Ртуть, свинец, алюминий, назвали сверхпроводниками I рода. Сплавы, а из чистых элементов — ниобий получили название сверхпроводников II рода.
При повышении напряженности магнитного поля сверхпроводник II рода «находит возможность» впустить поле внутрь, одновременно сохраняя сверхпроводимость. Это происходит при напряженности поля, намного меньшей Hc: в сверхпроводнике самопроизвольно зарождаются вихревые токи (Вихри Абрикосова).
• Подобно атомам кристалла, вихри образуют правильную решетку. • Каждые три соседних вихря образуют правильный треугольник
Захват магнитного потока Сверхпроводящий материал поместим в магнитное поле, а затем охладим. Из «бублика» поле вытолкнется, а в дырке останется.
• Поскольку кольцо сверхпроводящее, ток не затухает — магнитный поток остается неизменным. • Захваченный магнитный поток может принимать только определенные значения - «квантуется» .
• Φ 0 = 2, 07 · 10– 15 Вб. Φ 0 - квант потока. Магнитный поток равен целому числу квантов. • Поток магнитного поля Земли через площадь 1 мм 2 равен 25 000 квантов.
Электрон-фононное взаимодействие Изотопический эффект – чем меньше масса изотопа, тем выше критическая температура Tc. Вывод: решетка влияет на сверхпроводимость.
Ионы гораздо тяжелее электрона, их движение более медленное. Электрон уже «давно» пролетел, а ионы еще только подтянулись к тому месту, где он был. В этом месте образовался (на некоторое время) небольшой избыточный положительный заряд. Другой летящий мимо этого места электрон притянется к этому месту.
• Притяжение между электронами приводит к связыванию их в пары, которые называются куперовскими. • Между двумя составляющими пару электронами расстояние в тысячи раз больше, чем среднее расстояние между электронами
• В куперовскую пару связываются электроны с противоположно направленными спинами. Магнитное поле выстраивает спины вдоль своего направления. • Поэтому сильное магнитное поле «распаривает» электроны и уничтожает сверхпроводимость. Слабое магнитное поле само вытесняется сверхпроводящими электронами.
Применение сверхпроводимости • Магниты Сверхпроводящий магнит располагается в сосуде с жидким гелием. Через специальный канал в сосуд вводятся провода, по которым получает питание обмотка магнита.
• Сверхпроводящие жилки провода, которые должны иметь диаметр менее 0, 1 мм, располагаются в медной матрице.
Этап сборки сверхпроводящих магнитов для установки «Токамак-15»
Эффекты Джозефсона • Если нанести на сверхпроводник тонкую пленку нормального металла, то эта пленка тоже обретает сверхпроводящие свойства.
• Стационарный эффект Джозефсона заключается в том, что через контакт самопроизвольно течет сверхпроводящий ток без приложения какого-либо напряжения. • Этот ток определяется разностью фаз обоих сверхпроводников.
• Нестационарный эффект Джозефсона возникает, если к контакту приложить постоянное напряжение U или пропускать через него ток. • Такой контакт не только преобразует постоянное напряжение в переменный ток, но и работает как колебательный контур — излучает электромагнитные волны в диапазоне СВЧ.
СКВИДы • СКВИД — прибор, название представляет собой аббревиатуру «сверхпроводящее квантовое интерференционное устройство» на английском языке.
• Работают два явления — стационарный эффект Джозефсона и явление сохранения и квантования магнитного потока в сверхпроводящем кольце.
• СКВИДы применяются в геофизике для измерения колебаний магнитного поля Земли ; • для записи магнитных сигналов от органов человеческого тела; (таким способом удается получить магнитограмму плода беременной женщины. Раннее обнаружение отклонений в ритме сердца и лечение могут уменьшить возникающее повреждение мозга ребенка и устранить его умственную отсталость)
Шкала энергий
Скачать презентацию Квантовая статистика Числа заполнения Приближение электронный
10-Квантовая статистика-90.pptx