Квантовая механика и квантовая химия Лекция № 7

Квантовая механика и квантовая химия Лекция № 7 Моменты импульса (угловые моменты) Часть вторая 3 курс ХТФ Русакова Н. П.

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 2 • Момент импульса: Квантование момента импульса: • Решением уравнения: ψ=L 2 ψ Собств. знач. L L=ћ l=0, 1, …, n-1 z L nh 2 h h $ 2 L $ x. L $ y. L $ z. L $ 2 L ( 1)l l

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 3 • Спин – собственный момент количества движения (механический момент) ēē – Ps, в дальнейшем → S • Квантование S ēē (собственные значения оператора) S z = ms ћ ms = ± ћ

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 4 Орбитальный и спиновый моменты ē входят в момент импульса атома Добавление магнитного момента ядра позволяет найти магнитный момент атома L z =mћ Квантование М: m = 0, ± 1, ± 2, ±l 2 e L e M m

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 5 Полный момент импульса молекулы. Зачем? ? Основная характеристика молекулы – полная энергия: Ĥψ = Еψ Е = T + U = T t + T r + T v + U en + U nn + U ee внешние силы внутренние силы T = T t + T r + T v T = Классич. мех. : 2 0, 1 2 i i i m v p mv ur r Мера мех. движения тела

6 Полный импульс системы материальных точек: Одновременное значение могут иметь: и одна из проекций оператора импульса на оси. Две остальные остаются неопределёнными. Поэтому вектор момента импульса не имеет определённого направления и не может быть изображён (как в классической мех. ). Инерция I -Это явление сохранения покоя или сохранения ско- рости прямолинейного равномерного движения при компенсации (или отсутствии) внешних воздействий Для расчёта I вводят инерциальную систему отсчёта. Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 i i i p m v ur ur $ 2 L 2 I mr

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 7 Момент инерции молекулы: Для того, чтобы правильно отобразить vi импульса в мол. используют понятие угловой скорости: v i =ω·ri T = Матричная форма для Т 2 0, i i i I m r 2 0, 1 2 i i i m v 2 2 0, 0, 1 1 1 ( ) 2 2 2 i i i i m r I 1 2 T I

x y z Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 8 xx xy xz yx yy yz zx zy zz. I I I I I 1 2 T I 1 2 x y z В системе центра масс угловая скорость и момент инерции записываются в виде матриц: — ω задается ко- и контрвариантным способом — I – тензором второго ранга

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 9 • Матрица тензора момента инерции состоит из компонент центробежных моментов I= Она является матрицей интег- ралов по элементу массы: xx xy xz yx yy yz zx zy zz. I I I I I 2 2 ( )xx. I y z dm 2 2 ( )yy. I x z dm 2 2 ( )zz. I x y dm ( )xy yx. I I xy dm ( )yz zy. I I yz dm ( )xz zx. I I zx dm

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 10 Преобразование тензора момента инерции: Если правильно выбрать расположение осей системы координат центра масс, то можно получить диагональ-ную матрицу тензора момента инерции. Для этого: 1. Через начало координат проводится бесконечное количество прямых во всевозможных направлениях:

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 11 Преобразование тензора момента инерции: 2. На прямых откладываются отрезки длиной 3. Из них получается поверхность Эллипсоид энергии (ЭЭ) — уравнение поверхности: суммирование инерций всех точек по координатам ЭЭ, расположенный в центре масс молекулы – центральный эллипсоид энергии 1 r I 1 ij i j. I x x

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 12 Эллипсоид энергии В ЭЭ выбираются три взаимно перпендикулярные оси таким образом, чтобы недиагональные элементы мат-рицы тензора момента инерции (содержащие произ-ведение координат) обращались в нуль: В этих осях ЭЭ получается единичную диагональную мат- рицу тензора момента инерции 0 xy yx yz zy xz zx I I I 0 0 1 0 0 xx yy zz I I I

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 13 Эллипсоид энергии Оси ЭЭ, при которых — главные оси тензора момента инерции : a, b, c. — диагональные компоненты матрицы I aa , I bb , I cc – главные моменты инерции молекулы0 xy yx yz zy xz zx I I I 2 21 1 ( ) 2 2 aa bb cc. T I I

Потенциальная энергия: U = U en + U nn + U ee Для атома Н: Для многоэлектронных атомов: U = U эф + U вал = = U эф + (U en + U nn + U ee ) вал Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 142 0 1 4 en Ze U r 2 2 2 0 1 ( 1) 4 2 эф Ze l l U r mr h

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция № 7 15 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Задание на усвоение 1. Кинетическая энергия системы 2. Через какую физическую величину можно связать инерцию с импульсом в квантовой механике? 3. Тензор момента инерции в системе центра масс 4. Тензор момента инерции в системе главных осей Фамилия, Имя

Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия Часть 2 Моменты импульса Лекция №