Квантовая механика и квантовая химия Лекция № 2

Квантовая механика и квантовая химия Лекция № 2 Математический аппарат квантовой механики Часть первая 3 курс ХТФ Русакова Н. П.

Квантовая модель атома Шредингера • Описал движение электрона-волны в пространстве с помощью математического уравнения – волновой функции – ψ • — орбиталь – это пространство вокруг ядра, в котором можно обнаружить заселивший её электрон с вероятно- стью 95% • Вероятность – из принци- па неопределённостей Гей- зенберга (нет точной траектории – импульс и координата одновременно с максимально заданной точностью неизмеримы). 2 Русакова Н. П. Квантовая механика и квантовая химия

Квантовая модель атома Шредингера • Существование уровней, орбиталей различной формы 3 Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П.

Квантовая теория атома — — это теоретическая модель сложного природного явления – атома. Позволяет предсказывать многие (в том числе и неоткрытые) свойства различных элементов • Молекула – это система атомных ядер и электронов 4 Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П.

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Понятие оператора Квантовомеханическое представление атома – система ядра атома химического элемента и движущихся в его поле электронов. Ядра неподвижны по отношению к движению электронов, их масса много больше. Свойства атомов определяются характером движения электронов в нём. Движение электронов описывается волновой электронной функцией — ψ е. Точными решениями ψ е являются средние значения операторов динамических физических свойств

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Понятие оператора О. – это математический закон (правило), согласно которому каждой функции из одного класса функций ставится в соответствие другая функция из другого класса функций f=φ f φОбласть определения Область значений оператор

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Понятие оператора Оператор – действие — функция , областью определения и областью значений которой является множество числовых функций. f=φ О. – задан , если указано множество функций, на которые он действует f= аf =φ Это множество – область определения О. , а О. – назы-вается определённым ( оператор переводит функцию f в φ ) В кв. мех – действуя О. на волновую функцию получаем собственные значения и собственную функцию оператора ψ=aψ

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Свойства оператора 1. Произведением двух операторов и называется оператор · , действие которого на функцию сводится к последовательному действию сначала оператора , а потом оператора на результат действия : Изменим порядок действия этих операторов: операторы нельзя переставлять местами: 8µB µ

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Свойства оператора 2. Суммой двух операторов и называется оператор ± , который действует на функцию f следующим образом: Если операторы и равны : Операторы и определены в одной и той же области и одинаково действуют на функцию, т. е. переводят её в одну и ту же функцию. Если действие оператора записывается, как f = 0, то = 0 : оператор переводит функцию в тождественный нуль 9µBµB µB µ

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Свойства оператора 3. Коммутация операторов. Выражение вида: называется коммутатором операторов и . Если [ , ] =0, то говорят, что операторы коммутируют. В противном случае операторы не коммутируют. В силу действия в кв. механике принципа неопределённостей Гейзенберга одним из условий, накладываемых на операторы разных динамических свойств (н. п. : импульс и координата), является отсутствие их коммутации: 10µBµ

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Векторные операторы: Набла , который определён на дифференцируемых функциях трёх переменных: где k j, i, – единичные, взаимно ортогональные векторы Произведение двух векторных операторов даёт оператор Лапласа. Он определён на функциях трёх переменных, имеющих вторые частные производные

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. оператора

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П.

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П.

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Вывод оператора импульса и координаты Оператор импульса определяется через операторы его проекций на оси: Оператор координаты – координата. При действии им на любую функцию – функция умножается на вектор, который определяется координатами x, y, z: 15 r f r r$( , , )r x y z r $x f $y f z f $

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Вывод оператора кинетической энергии Классическая формула: для импульса 162 2 m T , p m 2 2 2 p m

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П.

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Ограничения на операторы, соответствующие реальным физическим величинам. Линейность Эрмитовость где С 1 и С 2 – числа, а f 1 и f 2 – функции, на которых определён оператор При действии оператором на сумму двух, не равных функций, получаем сумму действий на каждую из функций этим оператором оператор , определённый на функциях f 1 (x), f 2 (x) – самосопря-жённый или эрмитовый Интеграл первой функции, взятый по элементу второй, на которую действует оператор, равен интегралу второй функции, взятому по элементу первой функции, на которую действует этот оператор

Квантовая механика и квантовая химия Русакова Н. П. Спасибо за внимание!

Задание на усвоение 1. Дайте определение оператора 2. Перечислите ограничения, накладываемые на операторы физических величин в квантовой механике 3. Перечислите основные операторы квантовой механики 4. Выражение для коммутатора двух операторов Фамилия, Имя