КВАНТОРЫ Пусть Р х предикат определенный на множестве

КВАНТОРЫ Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Высказывание «для всех х из М Р(х) - истинно» обозначается ∀х Р(х); знак ∀ называется квантором общности. Высказывание «существует такой х из М, что Р(х) - истинно» обозначается Ǝх Р(х); знак Ǝ называется квантором существования. Переход от Р(х) к ∀х Р(х) или Ǝх Р(х) называется связыванием переменной х, или навешиванием квантора на переменную х (или на предикат Р)

Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная квантором переменная называется свободной. Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты. Выражение, на которое навешивается квантор ∀х и Ǝх называется областью действия квантора.

Дать словесную формулировку следующей предикатной формулы: Пусть х определен на множестве людей М, а Р(х) - «х - смертен» . ∀х Р(х) Ǝх Р(х) ∀х ך Р(х) Ǝх ך Р(х) 2. Пусть х∈N, Р(х) – «х – четное число» . 3. N(х) – предикат натуральных чисел.

4. 5. Записать предикатной формулой предложение: «Любой человек имеет отца» . Пусть предикат Р(х, у) описывает отношение «х любит у» . Дать словесную формулировку следующих формул: ∀х∀у Р(х, у); ∀хƎу Р(х, у); Ǝх∀у Р(х, у) ƎхƎу Р(х, у) Ǝу∀х Р(х, у) ∀уƎх Р(х, у)

6. РАССМОТРЕТЬ РАЗЛИЧНЫЕ ВАРИАНТЫ КВАНТИФИКАЦИИ ПРЕДИКАТОВ, ОПРЕДЕЛИТЕ ИХ ИСТИННОСТЬ: Q(х, у) - «х ≤ у» 1. ∀хƎу Р(х, у); 2. Ǝх∀у Р(х, у) 3. ƎхƎу Р(х, у) 4. ∀х∀у Р(х, у); 5. Ǝу∀х Р(х, у) 6. ∀уƎх Р(х, у) D(х, у) – «х делится на у» 1. 2. 3. 4. 5. 6. ∀хƎу Р(х, у); Ǝх∀у Р(х, у) ƎхƎу Р(х, у) ∀х∀у Р(х, у); Ǝу∀х Р(х, у) ∀уƎх Р(х, у)

7. КАКОЙ СМЫСЛ ИМЕЮТ ПРЕДИКАТНЫЕ ФОРМУЛЫ? 1. 2. 3. 4. ∀у∀zƎх П(х, у, z); Ǝy∀xƎz S(x, y, z); ∀x∀y∀z∀u (П(x, y, z)∧П(х, y, u) E(z, u); ∀z∀xƎу S(x, y, z). 8. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат Р(х, у), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность на множестве N, если предикат означает: «х, у делятся на 3» ; «х, у – четные числа» ;

РАССМОТРЕТЬ ВСЕ ВАРИАНТЫ НАВЕШИВАНИЯ КВАНТОРОВ НА ПРЕДИКАТ Р(Х, У), ОПИСАТЬ В СЛОВЕСНОЙ ФОРМЕ ПОЛУЧЕННЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПРЕДЕЛИТЬ ИХ ИСТИННОСТЬ НА МНОЖЕСТВЕ ЛЮДЕЙ, ЕСЛИ ПРЕДИКАТ ОЗНАЧАЕТ: 1. 2. 3. 4. «х является родителем у» ; «х живет в одном городе с у» ; «х является родственником у» ; «х расстроил у» .

ВЫПОЛНИМОСТЬ И ИСТИННОСТЬ При логической интерпретации формул логики предикатов возможны три основных ситуации: 1. Формула F(х1, х2, …, хn) называется просто выполнимой (ПВ), если существует такая подстановка констант (а 1, а 2, …, аn), что формула F(а 1, а 2, …, аn)=1. 2. Формула F(х , х, …, х) называется тождественно истинной (ТИ), если она выполнима при любых подстановках констант. 3. Формула F(х , х, …, х) называется тождественно ложной (ТЛ), если она невыполнима ни при каких подстановках констант.

УПРАЖНЕНИЯ Определить вид формулы: 1. (П(x, y, z)∧П(x, y, u)) E(z, u); 2. Ǝy П(х, х, у); 3. Ǝх П(х, х, у); 4. ∀х ∀у ∀z ∀u ((S(x, y, z)∧S(x, y, u)) E(z, u); 5. (S(x, y, z)∧S(y, x, u)) E(z, u); 6. Ǝy(П(x, x, y) S(x, x, y)); 7. ∀x ∀y ∀z((П(x, y, z)∧ ך E(x, y)) S(x, y, z); 8. Q(x, z) (Ǝy S(x, y, z)∨ E(x, z); 9. Ǝx П(x, y, z) D(z, y); 10. Ǝx S(x, y, y) ∀x S(x, y, y)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИСТИННОСТЬ ФОРМУЛЫ МЕТОДОМ ОТ ПРОТИВНОГО: ∀х ((Р(х)∧Q(х)) Р(х)) Пусть формула ложна. Тогда: Р(х)∧Q(x)=1 и Р(х)=0; Р(х)∧Q(х)=1, тогда Р(х)=1 и Q(х)=1. Получили противоречие. Следовательно предположение, что формула ложна, неверно, следовательно формула истинна.

УПРАЖНЕНИЯ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Доказать от противного истинность формул: ∀х ((Р(х) Q(x))∨ (Q(x) P(x)); ∀х ((Р(х) Q(x))∨ ((P(x) Q(x))→Р(х))); ∀х (Р(х) (Q(x) (P(x)∧Q(x))); ∀х (( ך Р(х) ך Q(x)) (Q(x)∧P(x))); ∀х ((Р(х) Q(x)) ((P(x) ך Q(x)) ך P(x))); ∀х(Q(х) R(x)) ((P(x)∨ Q(x)) (P(x) R(x)); ∀х (((Р(х) Q(x)) P(x)); ∀х ( ך Р(х) (P(x) Q(x)));