Скачать презентацию Квантомеханическая теория возмущений 43 Постановка задачи в теории Скачать презентацию Квантомеханическая теория возмущений 43 Постановка задачи в теории

8.теория возмущений.ppt

  • Количество слайдов: 38

Квантомеханическая теория возмущений. 43. Постановка задачи в теории возмущений. 44. Теория возмущений в невырожденном Квантомеханическая теория возмущений. 43. Постановка задачи в теории возмущений. 44. Теория возмущений в невырожденном спектре. 45. Теория возмущений для вырожденного спектра. 46. Теория возмущений, зависящих от времени. 47. Вероятности переходов под влиянием периодически действующих возмущений.

43. Постановка задачи в теории возмущений. 1 - основной невозмущенный гамильтониан - оператор возмущения 43. Постановка задачи в теории возмущений. 1 - основной невозмущенный гамильтониан - оператор возмущения 2

Как найти собственные значения Е и собственные функции оператора 3 Подставляем 3 и 2 Как найти собственные значения Е и собственные функции оператора 3 Подставляем 3 и 2 в 1

4 1 2 3 Умножим 4 слева на волновую функцию и интегрируем по 4 1 2 3 Умножим 4 слева на волновую функцию и интегрируем по V объему, с учетом соотношения ортонармированности

1 2 3 Vmn – матричный элемент возмущения 1 2 3 1 2 3 Vmn – матричный элемент возмущения 1 2 3

Окончательно: 5 Главное уравнение квантово-механической теории возмущений. Решение. Разложим в ряд по малым поправкам: Окончательно: 5 Главное уравнение квантово-механической теории возмущений. Решение. Разложим в ряд по малым поправкам: 6 Энергию так же запишем в виде поправок: 7

Задача в том, что методом последовательных вычислений найти поправки 1, 2 и более высоких Задача в том, что методом последовательных вычислений найти поправки 1, 2 и более высоких порядков. Эти малые поправки, или слабые возмущения приводят к изменению волнового поля, волнового облака. Возникают сдвиги энергетических уровней, где и - безразмерный параметр малости возмущения Возмущение меняет волновые поля, облака, меняет энергию, меняет состояния.

44. Теория возмущений в невырожденном спектре. Непрерывный спектр – когда каждому значению энергии соответствует 44. Теория возмущений в невырожденном спектре. Непрерывный спектр – когда каждому значению энергии соответствует одна волновая функция. Рассмотрим уравнение Шредингера, где гамильтониан: 1 Решение невозмущенной задачи нам известно: 2

Каждому значению энергии соответствует одно значение волновой функции. Энергетический спектр: Расписываем волновую функцию через Каждому значению энергии соответствует одно значение волновой функции. Энергетический спектр: Расписываем волновую функцию через известные невозмущенные волновые функции 3

Подставляем 1 2 3 в уравнение Шредингера Аналогично 5 в 43 получаем главное Подставляем 1 2 3 в уравнение Шредингера Аналогично 5 в 43 получаем главное уравнение квантовомеханической теории возмущения 4

Находим поправки к амплитудам и к энергии: 5 5 подставляем в уравнение 4 и Находим поправки к амплитудам и к энергии: 5 5 подставляем в уравнение 4 и получаем общее уравнение для невырожденного спектра: 4/

Рассмотрим случай когда система находилась в определенном квантовом состоянии n. Будем считать: первоначально то Рассмотрим случай когда система находилась в определенном квантовом состоянии n. Будем считать: первоначально то есть а все остальные При k=n уравнение 4/ 4//

Соберем эти величины по первому порядку малости: - поправка энергии первого порядка Сдвиг энергетических Соберем эти величины по первому порядку малости: - поправка энергии первого порядка Сдвиг энергетических уровней: 6 Vnn – диагональный матричный элемент возмущения

При из 4/ находим поправки для других уровней: В этом уравнении содержатся уровни разного При из 4/ находим поправки для других уровней: В этом уравнении содержатся уровни разного порядка малости. Для величин первого порядка малости по 7

Поправка к волновым функциям: n k Сдвиг можно наблюдать в спектрах поглощения. Условие применимости Поправка к волновым функциям: n k Сдвиг можно наблюдать в спектрах поглощения. Условие применимости теории возмущения

То есть должно быть или То есть должно быть или

Второй порядок теории возмущения (то есть ~ ). В 4/ k=n Но(!) Поэтому Второй порядок теории возмущения (то есть ~ ). В 4/ k=n Но(!) Поэтому

Так как Отсюда для и нижних уровней: Теория возмущения справедлива тогда, когда есть Так как Отсюда для и нижних уровней: Теория возмущения справедлива тогда, когда есть малый параметр. Дополнительный оператор возмущения действительно является малой энергетической добавкой

45. Теория возмущений для вырожденного спектра. Секулярное уравнение. В случае вырождения одному значению энергии 45. Теория возмущений для вырожденного спектра. Секулярное уравнение. В случае вырождения одному значению энергии соответствует несколько волновых полей, облаков вероятности r- различных функций Подставляем в основное уравнение теории возмущения

Неизвестную волновую функцию раскладываем на невозмущенные волновые функции: r- кратность вырождения 1 2 Неизвестные Неизвестную волновую функцию раскладываем на невозмущенные волновые функции: r- кратность вырождения 1 2 Неизвестные поправки подставляем в основное уравнение теории возмущения:

3 В первом порядке теории возмущения (~ ) 4 Главное уравнение для вырожденного 3 В первом порядке теории возмущения (~ ) 4 Главное уравнение для вырожденного спектра

r 5 Получается система r, линейных однородных алгебраических уравнений r. Такая система решается r 5 Получается система r, линейных однородных алгебраических уравнений r. Такая система решается не всегда, а только при одном условии:

6 Это секулярное уравнение, оно дает энергетическую поправку 1 -го порядка Задача 7. 6 Это секулярное уравнение, оно дает энергетическую поправку 1 -го порядка Задача 7. 44 возмущение En(0) r- корней – действие возмущения En(0)+ En(1) n, an(0)=1

46. Теория возмущений, зависящих от времени. 1 Так как 2 - невозмущенный гамильтониан Для 46. Теория возмущений, зависящих от времени. 1 Так как 2 - невозмущенный гамильтониан Для невозмущенного гамильтониана решение считаем известным: 3

Неизвестную волновую функцию запишем в виде суперпозиции известных волновых функций. Эти функции сами зависят Неизвестную волновую функцию запишем в виде суперпозиции известных волновых функций. Эти функции сами зависят от времени. 4 Считаем, что нулевые величины известны: Подставляем 4 в основное уравнение и получаем: 1

1 2 3 4 6 Здесь матричный элемент возмущения: 7 1 2 3 4 6 Здесь матричный элемент возмущения: 7

Так как эти уравнения дифференциальные, то их можно решить при начальных условиях. При t=0, Так как эти уравнения дифференциальные, то их можно решить при начальных условиях. При t=0, первоначально система находится в n-ом квантовом состоянии an(0)=1, a все ak(0)=0, k≠n. Рассмотрим как же будут меняться состояния. Вообще со временем t, появляется первая поправка. Подставляем ее в первоначальное уравнение 6

Поправка первого порядка: Действие возмущения постепенно накапливается и вызывает заметный эффект. Это проявляется в Поправка первого порядка: Действие возмущения постепенно накапливается и вызывает заметный эффект. Это проявляется в вероятности: За время t вероятность найти в m-ном уравнении возрастает. Это возможно вызывает переходы.

9 8 9 8

47. Вероятности переходов под влиянием периодически действующих возмущений. Примером периодически действующих возмущений является электромагнитное 47. Вероятности переходов под влиянием периодически действующих возмущений. Примером периодически действующих возмущений является электромагнитное поле световой волны Возмущение зависит от времени, оно имеет вид: В уравнение 8 из 46 подставляем уравнение 1 1

Здесь появляется Это из-за того, что волновая функция не возмущенных состояний зависит от Здесь появляется Это из-за того, что волновая функция не возмущенных состояний зависит от времени

- не зависит от времени - временная часть -временной фазовый множитель Возникают две - не зависит от времени - временная часть -временной фазовый множитель Возникают две разные частоты: - частота внешнего поля, это приводит к резонансу - частота внутреннего квантового состояния

Отдельно вычислим временной интеграл, который содержит экспоненту: Рассмотрим эффект на больших временах: Отдельно вычислим временной интеграл, который содержит экспоненту: Рассмотрим эффект на больших временах:

Вероятность перехода пропорциональна времени: Вероятность перехода пропорциональна времени:

За все полное время t: Вероятность перехода за единицу времени из первого во второй За все полное время t: Вероятность перехода за единицу времени из первого во второй уровень, за 1 секунду

(1) – В этом случае вероятности равны нулю, частоты не совпадают. Если закон (1) – В этом случае вероятности равны нулю, частоты не совпадают. Если закон сохранения энергии не выполняется, переходы не происходят. (2) - В этом случае вероятности не равны нулю, частоты совпадают. При этом переходы возможны. Частота перехода совпадает с частотой внешнего поля, то есть переходы возможны в условиях резонанса:

Мы установили, что периодически действующие возмущения вызывают квантовые переходы резонансным способом. Обязательно должен Мы установили, что периодически действующие возмущения вызывают квантовые переходы резонансным способом. Обязательно должен выполнятся закон сохранения энергии. Энергия внешнего поля переходит в квантовую энергию системы и наоборот.

Вопросы ? Как строится квантовая теория возмущения? ? Нахождение общего уравнения для невырожденного спектра. Вопросы ? Как строится квантовая теория возмущения? ? Нахождение общего уравнения для невырожденного спектра. ? Что такое секулярное уравнение? ? При каких условиях возможны переходы под влиянием периодически действующих возмущений?