Квадратный трёхчлен и теорема Виета Что

Квадратный трёхчлен и теорема Виета • Что называется квадратным трёхчленом • Формулировка теоремы Виета и доказательство • Примеры заданий для решения квадратных трёхчленов

Выражение Зх2 2 x 5 является многочленом второй степени с одной переменной. Такие многочлены называют квадратными трехчленами. 2 Квадратным трехчленом называется мно гочлен вида ах + bх + с, где х — переменная, а, Ь и с — не которые числа, причем а не равно 0. Значение квадратного трехчлена Зх2 2 х 5 зависит от значения х. Так, например: если х = 5, то Зх2 2 х 5 = 60; если х = 1 у то Зх2 2 х 5 = 4; если х = 1, то 3 x 2 2 х 5 = 0; если х = 2, то Зх2 2 x 5 = 3. Мы видим, что при х 1 квадратный трехчлен Зх2 2 х 5 обращается в нуль. Говорят, что число 1 является корнем этого трехчлена. Корнем квадратного трехчлена называется значение пере менной, при котором значение этого трехчлена равно нулю. Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с, надо решить квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0.

Если х1 и х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с, то ах2 + bх + с = а (х х1) (х х2). Доказательство: Вынесем за скобки в многочлене ах2 + bх + с множитель а. Получим: ах2 +bх + с =а(x 2+(b/a)x +c/a) Так корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с являются также корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, то по теореме Виета x 1+x 2= b/a, x 1*x 2 = c/a Отсюда b/a , = (x 1+ x 2), а c/a=x 1*x 2 Поэтому х2 + b/a х + c = х2 (x 1 + х2)х + х1 *х2 =x 2 x 1 x x 2 x +x 1 x 2 =x (x x 1) x 2(x x 1)=(x x 1)(x x 2) Итак, ах2 + bх + с = а (x х1) (x х2). ч. и. т. д. Заметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами пер вой степени.

Доказательство: Пусть трехчлен ах2 + bх + с не имеет корней. Пред положим, что его можно представить в виде произ ведения многочленов первой степени: ах2 + bх + с = (kx + т) (рх + q), где k, т, р и q — некоторые числа, причем k не равно 0 и p не равно 0. Произведение (kx + т) (рх + q) обращается в нуль при x= m/k и x= q/p Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах2+ bх + с, т. е. числа m/k и q/p — являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет. Основоположником этой теоремы был Франсуа Виет выдающийся французский математик XVI века, положивший начало алгебре как науке. По образованию и основной профессии — юрист, по склонности души — математик.

Биография • Родился в 1540 году в Фонтене ле Конт французской провинции Пуату — Шарант. Отец Виета был юристом, а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына. • Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. • Около 1570 года подготовил «Математический Канон» — труд по тригонометрии, — который издал в Париже в 1579 году.

• В 1571 году переехал в Париж и вскоре перешёл на государственную службу, но увлечение его математикой продолжало расти. • Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства — Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии. • Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет устранён от дел (1584— 1588), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды классиков (Кардано, Бомбелли, Стевина и др. ). Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» — символический язык алгебры. • Только часть трудов этого талантливого и плодовитого учёного была издана при жизни Виета. Главное его сочинение: «Введение в аналитическое искусство» (1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть некоторые указания, что учёный умер насильственной смертью.

Научная деятельность Виет чётко представлял себе конечную цель — разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью: Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий. Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы — гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Другие заслуги Виета: • знаменитые «формулы Виета» для коэффициентов многочлена как функций его корней; • новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения, применимый также для трисекции угла; • первый пример бесконечного произведения: • • • полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней; идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений; оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами.

• Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Английский учёный Томас Хэрриот в своём посмертно изданном (1631) труде уже очень близок к современной символике: вместо заглавных букв применяет строчные, степени записывает не словесно, а мультипликативно (aaa вместо a 3), использует знак равенства (предложенный в 1557 году Робертом Рекордом), а также придуманные самим Хэрриотом символы сравнения «>» и «<» . Практически окончательный вид алгебраической символике придал Декарт.

1 уровень сложности. Выделим из трехчлена Зх2 36 х + 140 квадрат дву члена Решение: Вынесем за скобки множитель 3: Зх2 36 х + 140 = 3(х2 12 х + 140/3 ). Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 12 x в виде произведения 2 • 6 • х, а затем прибавим и вычтем 62. Получим: Зх2 36 х + 140 = 3[ х2 12 х + 140/3 ) = = 3[x 2 2*6*х + 62 62 +140/3) = 3((х 6)2 + 32/3 ) = 3(х 6)2 +32. Значит, Зх2 36 х + 140 = 3 (х 6)2 + 32. Ответ: 3 (х 6)2 + 32.

2 уровень сложности Найти все пары квадратных трехчленов x 2 + ax + b , x 2 + cx +d такие, что a и b – корни второго трехчлена, c и d – корни первого. Решение: x 2 + ax , x 2 ax , a – любое число; x 2 + x 2 , x 2 + x 2. По теореме Виета a = (c + d) , b = cd , c = (a+b) , d = ab. Получили систему уравнений a + b + c = 0, a + c + d = 0, b = cd, d = ab, которая равносильная системе a + b + c = 0, b = d, b = bc, b = ab, Если b = 0 , то d = 0 , c = a , a – любое. Если же b 0 , то a = c = 1 , b = d = 2. Ответ: x 2 + ax , x 2 ax , a – любое число; x 2 + x 2 , x 2 + x 2.

3 уровень сложности: Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами. Решение: Рассмотрим квадратный трехчлен f (x) = ax 2 + bx + c. Выделим полный квадрат, для этого обозначим t = x + b/2 a и D = b 2 4 ac. Тогда ax 2 + bx + c = at 2 – (D/4 a 2) При D ≤ 0 положим p = . Тогда искомое представление a(t 2 – D/4 a 2) = a/2((t p)2 + (t + p)2) = a/2(x+(b √ D)/2 a)2+a/2(b+√ D)/2 a )2. При D > 0 положим q =. Тогда a(t 2 – D/4 a 2) = a(2(t + q)2 (t + 2 q)2) = 2 a(x + (b+√D/2)/2 a)2 a(x+(b+√ 2 D)2

Работу выполнили: • Груздев Александр • Тэн Владислав • Томанов Евгений