Квадратные уравнения Учитель Бубнова А.

Квадратные уравнения Учитель Бубнова А. А. , Учитель математики Кореизской средней школы 1

Цель n В презентации приведен теоретический материал по квадратным уравнениям; n Приведены примеры решения неполных уравнений; n В презентации рассматривается решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата и по формулам; n Рассматривается теорема Виета и обратная теорема; n Приведено разложение квадратного трехчлена на множители; n По каждому пункту рассматриваются примеры. 2

Содержание n Исторические сведения n Определение n Неполное квадратное уравнение n Приведенные квадратные уравнения n Метод выделения полного квадрата n Тесты n Формула корней квадратного уравнения n Теорема Виета n Теорема, обратная теореме Виета n Разложение квадратного трехчлена на линейные множители 3

Определение Квадратным уравнением называется уравнение вида где a, b, c – числа, x – неизвестное. Числа a, b, c – коэффициенты, а – старший коэффициент, b - средний коэффициент, с – свободный член. Квадратное уравнение называется уравнением второй степени с одним неизвестным. Содержание 6

Неполное квадратное уравнение n Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, называется неполным. n Подчеркнем, что если уравнение квадратное, то а не равно 0 Содержание 7

Неполное квадратное уравнение. n Случай 1. b=c=0 n Случай 2. b=0, c не равно 0 Содержание 8

Неполное квадратное уравнение. n Случай 3. с=0, b не равно 0. Содержание 9

Примеры Содержание 10

Примеры Содержание 11

Примеры Содержание 12

Приведенные квадратные уравнения n Квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным 1, называется приведенным. n Таким образом, приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида Содержание 13

Метод выделения полного квадрата Рассмотрим примеры: 1) Содержание 14

Метод выделения полного квадрата Рассмотрим примеры: 2) Содержание 15

Метод выделения полного квадрата n В примерах 1 и 2 были рассмотрены приведенные квадратные уравнения. n Для каждого квадратного уравнения можно записать равносильное ему приведенное уравнение, разделив обе части квадратного уравнения на старший коэффициент. Содержание 16

Метод выделения полного квадрата Рассмотрим примеры: 3) Содержание 17

Метод выделения полного квадрата Рассмотрим примеры: 4) Содержание 18

Формула корней квадратного уравнения n Для квадратного уравнения: Содержание 19

Формула корней квадратного уравнения n Если b – четное число, то корни удобно вычислять по формуле: Содержание 20

Примеры n 1) Решить уравнение (способ 1) Содержание 21

Примеры n Поскольку b=-14 – четное число, то для решения уравнения используем другую формулу: Содержание 22

Теорема Виета n Если x 1, x 2 – корни квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, то будут правильными равенства: x 1+ x 2 = -p, x 1 x 2 = q. n Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна среднему коффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Содержание История 23

Теорема Виета n Если x 1, x 2 – корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, 24

Примеры n Если уравнение x 2 + 47 x + 23 = 0 имеет корни , определить знаки этих корней, не решая уравнения. D = 472 - 4 x 23 > 0, значит уравнение имеет два разных корня. Согласно теореме Виета имеем: x 1 + x 2 = -47 и x 1 x x 2 = 23 Поскольку произведение корней – положительное число, то корни x 1 и x 2 – числа одного знака. А поскольку сумма x 1+x 2 равна отрицательному числу, то x 1 и x 2 – отрицательные числа. n Ответ: x 1<0, x 2<0. Содержание 26

Теорема, обратная теореме Виета n Если для чисел x 1, x 2 будут правильными равенства x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q, то x 1, x 2 – корни квадратного уравнения x 2 + px + q = 0. Содержание 27

Примеры n 1) Решить уравнение x 2 - 10 x + 21 = 0. (1) n Решим уравнение подбором. По теореме Виета должны быть правильными равенства x 1 + x 2 = 10, x 1 x 2 = 21. n По теореме, обратной теореме Виета, если правильны эти равенства , то x 1 и x 2 – корни уравнения (1). Подберем числа, это x 1 = 3, x 2 = 7. n Ответ: 3; 7. Содержание 28

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители n Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax 2 + bx + c, где a, b и c – коэффициенты, a не равно 0, x – переменная; n Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 называют корнями квадратного трехчлена, а дискриминант квадратного уравнения – дискриминантом квадратного трехчлена 29

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители n Теорема. Если x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена, то ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) n Пример. Разложить трехчлен 7 x 2 + 34 x - 5 на линейные множители. Найдем корни трехчлена. n D=342+4 x 7 5=1296=362 x 30

Успехов Вам в учёбе! Содержание 31