Квадратные уравнения Кубические уравнения Формула Кардано Уравнения 4

Квадратные уравнения. Кубические уравнения. Формула Кардано. Уравнения 4 степени. Метод Феррари.

Квадратные уравнения Уравнение вида , где х - переменная, a, b, c – числа , называется квадратным. а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член Первый вид квадратных уравнений – неполные квадратные уравнения

Квадратные уравнения Примеры решения неполных квадратных уравнений Пример 1. Решить уравнение Решение. Ответ:

Квадратные уравнения Пример 2. Решить уравнение (3) Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную за скобки, перепишем уравнение в виде (4) Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем: Ответ:

Квадратные уравнения Пример 3. Решить уравнение Решение. Ответ:

Квадратные уравнения Пример 4. Решить уравнение (5) Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной , а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет. Ответ:

Квадратные уравнения

Кубические уравнения Кубическим уравнением называется уравнение вида ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 , (1) где a , b , c , d - постоянные коэффициенты, а х - переменная. Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются вещественными числами. Корни кубического уравнения. Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности). И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т. е. : D= -4 b 3 d + b 2 c 2 - 4 ac 3 + 18 abcd -27 a 2 d 2.

Кубические уравнения Решение. Сначала приведем уравнение к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой сделаем в уравнении замену Тогда получим Следовательно, уравнение принимает вид

Кубические уравнения Теперь в соответствии с формулой сделаем в уравнении еще одну замену Тогда поскольку то уравнение примет вид .

Кубические уравнения Далее получаем: Отсюда получаем: Далее из равенства получаем: Таким образом, мы нашли у уравнения вещественный корень .

Итак, возможны только 3 следующих случая: D > 0 - тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых - три различных вещественных корня) D < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней) D = 0 - хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т. е. мы имеем дело либо с уравнением с 2 умя совпадающими корнями, и еще 1 ним отличным от них, либо с уравнением с 3 емя совпадающими корнями. ( В любом случае все корни вещественные. ) Формула Кардано - это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комплексных чисел). Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида y 3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены: x= y - b/3 a (3) p= - b 2/3 a 2 + c/a q= 2 b 3/27 a 3 - bc/3 a 2 + d/a Найдем следующие величины: Q=(p/3)3 + (q/2)2 α = (-q/2 + Q 1/2)1/3 β = (-q/2 - Q 1/2)1/3 Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен D = - 108 Q Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом: y 1= α + β y 2= - (α + β)/2 + (31/2(α - β)/2)i y 3 =- (α + β)/2 - (31/2(α - β)/2)i

Если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y 1. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). Если Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1, y 2, y 3 и подставьте их в (3). Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем α = β, и y 1=2α, y 2= y 3 = - α. Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

Формула Кардано Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений: Пусть нам дано общее уравнение 3 -й степени: , (1) Если положить , то мы приведем уравнение (1) к виду , (2) где , . Введем новое неизвестное с помощью равенства .

Внося это выражение в (2), получим Отсюда следовательно, Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение и учесть, получающееся в результате выражение для оказывается симметричным относительно знаков «+» и «-» , то окончательно получим

Уравнения 4 степени -Общее уравнение 4 -й степени. - Если положить то уравнение (1) можно привести к виду где p, q, r — некоторые коэффициенты, зависящие оt a, b, c, d, e. Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде: В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие , взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению

Выберем параметр t так, чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y . Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y ), стоящего справа: Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид: Отсюда, Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения (2), а, следовательно, и (1).

Метод Феррари состоит из двух этапов. На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного. На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4 -ой степени Разделим уравнение (1) на старший коэффициент. Тогда оно примет вид (2) где - произвольные вещественные числа. Сделаем в уравнении (2) замену (3) где - новая переменная.

Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид (4) Если ввести обозначения то уравнение примет вид (5) где - вещественные числа. Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение Где - некоторое число, которое мы определим чуть позже.

из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид (6) Если теперь выбрать число так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения (7) то уравнение (6) примет вид (8)

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде или, раскрыв скобки, - в виде (8) Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4 -ой степени (5). Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов» .

Действительно,

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение (10) а также квадратное уравнение (11) Вывод метода Феррари завершен.

Пример: Решить уравнение (12) x 4 + 4 x 3 – 4 x 2 – 20 x – 5 = 0 Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену (13) Поскольку

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид (14) В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства (15) В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) которое при сокращении на 2 принимает вид: служит уравнение (16)

Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число (17) Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение корни которого имеют вид: Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение (18)

корни которого имеют вид: (19) В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12): Ответ: