Квадратичная функция Её свойства и график Выделения

Квадратичная функция. Её свойства и график.

Выделения полного квадрата

Определение квадратичной функции Квадратичной функцией называется функция , которую можно задать формулой вида: y= 2 +bx ax +c где: a, b, c – числа Х – независимая переменная а 0

Определить, какие из данных функций являются квадратичными: у = 5 х2 + 3 х у = х2 – 1 у = 6 х3 – 5 х2 + 7 у = 6 х4 + 5 х2 + 7 у = 5 х + 2 у= -(х+3)2+2 у = 7 х2 + 2 х -1 у = х2 – 5 х + 6

- . Графиком квадратичной функции у = ах2 + bх + с является парабола, которая получается из параболы у = ах2 параллельным переносом. Вершина параболы - ( х0; уо) , где : хо = - у0 = Осью параболы будет прямая х=-

Дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 называется выражение b 2 – 4 ac Его обозначают буквой D, т. е. D= b 2 – 4 ac. Возможны три случая: ØD 0 • если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, • если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс, • если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,

- ветви параболы направлены вверх, При у При ветви параболы направлены вниз х у f(x 0) х

Назовите те параболы, ветви которых будут направлены вниз f(x) = ( х + 2 ) 2 – 3 f(x) = - 3 х2 + 1 f(x) = 0, 5 х2 – 6 х + 5 f(x) = 7 х2 + 2 х -1 f(x) = - 2 ( х – 3 ) 2 + 4

Алгоритм построения графика функции у = ах2 + bх +с 1. Определить направление ветвей параболы. 2. Найти координаты вершины параболы 3. Провести ось симметрии

4. Определить точки пересечения графика функции с осью Ох, т. е. найти нули функции 5. Составить таблицу значений функции с учетом оси симметрии параболы. х х1 х2 х3 х4 у у1 у2 у3 у4 6. Построить график функции. (х1; 0) (х2; 0)

у Рассмотрим пример: х = 2 у = х2 – 4 х + 3 8 7 6 Построить график функции 5 у = х2 – 4 х + 3 4 3) Проведем ось 5) 4) Определим точки 2) Найдем координаты точку 6) Найдем то с графика 1) Т. к. а=1, параболы Оу симметрии осью 7) Построим ветви вершины точку Е пересечения график пересечения симметричную точке D параболы направлены, – функции значит D(0; 3) х=0, у=3, с осью Ох функции относительно оси вверх. пересечения точка т. е. найдем нули симметрии. Е(4; 3) с осью Оу функции -6 D Е 3 2 О В 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 С 3 х 4 5 О В(1; 0); С(3; 0)

Пример: у Рассмотрим свойства функции у = х2 – 2 х - 3 6) Положительные 5)Область 4) При 2. Область 3) Нули функции: 1. Наименьшее значение функция значения 3 = 0 2 – 2 х значений хопределения функции: принимает на промежутке Отрицательные + + 1 0 -4 1 - х

Решив квадратное уравнение х 2 - 6 х + 8 =0 определяем нули функции Х=2 и. Х=4 а > 0 (Ветви параболы направлены вверх) Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8) Ось симметрии Построим график у =х2 -6 х +8 х = -(b/ 2 a) y=9 -18+8=-1 ( 3; -1)- вершина параболы

Функция возрастает в промежутке [ +3; + ) Функция убывает в промежутке ( ; +3] Наименьшее значение функции равно -1 Наибольшего значения функции не существует Ось симметрии Область значений функции – Е (f) = [ -1 ; + )

План построения y 11 1) Построить вершину параболы 2) Построить ось симметрии x=-1 3) Найти нули функции -4 -2, 9 -1 0, 9 -7 3 x 4) Дополнительные точки (-4; 11) ; (3; 11) 5) Построить параболу по точкам

Спасибо за внимание!