Квадрат Квадрат — это четырехугольник, у которого

Квадрат

Квадрат — это четырехугольник, у которого все четыре стороны и углы одинаковы. Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°. Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.

Основные свойства квадрата

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны: AB = BC = CD =

2. Противоположные стороны квадрата параллельны: AB||CD, BC||

3. Все четыре угла квадрата прямые: ABC = BCD =∠ ∠ ∠ CDA = DAB = ∠ 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов: ABC + BCD + ∠ ∠ ∠ CDA + DAB = ∠ 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины: AC =

6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры

7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друга пополам: AC BD AO = BO = ┴ CO = DO = d/

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности

9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата: ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD ACB = ACD = BDC = BDA ∠ ∠ = CAB = CAD = DBC = ∠ ∠ DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные: ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDO

Диагональ квадрата Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата. Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√ 2 раз. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата: d = a·√

Формула диагонали квадрата через площадь квадрата: d = √ 2 S Формула диагонали квадрата через периметр квадрата: d = P 2√ 2 Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности: d = 2 R

Периметр квадрата Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.

Формула периметра квадрата через сторону квадрата P = 4 a Формула периметра квадрата через площадь квадрата: P = 4√S Формула периметра квадрата через диагональ квадрата: P = 2 d√ 2 Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности: P = 4 R√ 2 Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности: P = 8 r

Площадь квадрата Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата. Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формула площади квадрата через сторону квадрата: S = a 2 Формула площади квадрата через периметр квадрата: S = P 2 16 Формула площади квадрата через диагональ квадрата: S = d 2 2 Формула площади квадрата через радиус описанной окружности: S = 2 R 2 Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности: S = 4 r

Окружность описанная вокруг квадрата Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата. Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√ 2 раз. Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали. Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Окружность вписанная в квадрат Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/п раза.