Курсовая работа по дисциплине “Физика. Электродинамика“

Курсовая работа по дисциплине “Физика. Электродинамика“ Часть I. Объёмная плотность заряда 1. Задача Дирихле для уравнения Пуассона объёмная плотность заряда заряд в элементарном объёме

оператор Лапласа 2. Плотность заряда, создаваемая точечным источником Задача. Представить плотность точечного заряда как объёмную плотность 2

Рассмотрим точечный заряд, равный Q=1 Совместим начало координат с положением источника - шар радиуса с центром в начале координат -радиус вектор точки Распределим единичный точечный заряд равномерно внутри рассматриваемого шара -средняя плотность заряда Здесь интеграл есть интеграл Лебега по всему пространству

Рассмотрим предельную функцию для средних плотностей - классический (поточечный) предел последовательности почти всюду в в силу известного свойства Тогда имеем интеграла Лебега Следовательно, 4

Вывод. Поточечный предел последовательности средних плотностей не может быть принят в качестве искомой плотности заряда, так как не выполняется условие Слабый предел последовательности средних плотностей . Для любой непрерывной функции найдём предел при числовой последовательности Докажем, что 5

Для любой непрерывной функции выполняется как только Рассмотрим

Следовательно, получили Символ есть значение функционала на функции 7

Слабый предел есть функционал, сопоставляющий каждой непрерывной функции число Этот функционал обозначим за определение объёмной плотности точечного заряда 8

Запись означает, что аргумент функций на которые действует функционал Если то и Вывод. Если в точке сосредоточен заряд то в качестве объёмной плотности следует брать обобщённую функцию 9

Если же в точке сосредоточен заряд то Плотность распределения заряда, создаваемая материальными точками, не может быть описана в рамках классического понятия функции Для её описания привлекаются объекты более общей математической природы - это линейные непрерывные функционалы или обобщённые функции 10

3. Одномерная обобщённая- функция Дирака Определение. Функционал называемый смещённой функцией Дирака (обобщённая функция), определяется условием где - произвольная непрерывная функция Свойство 1 Тогда

Свойство 2 Свойство 3 Свойство 4 4 А Примеры 4 Б Примеры 12

4. Обобщённая производная Если функция имеет разрыв первого рода в точке , тогда где - скачок функции в точке разрыва Пример 13