Курсовая работа на тему: «Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и n-мерного пространства. Понятие расстояния. Неравенство Коши. Буняковского, неравенство треугольника. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные. Замкнутость. Компактные множества» Выполнила: А. Ю. Соколовская, студентка 1 -го курса очной формы обучения экономического факультета, группа Э 112 Б
Содержание Введение…………………………. . Глава 1. Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и n-мерного пространства 1. 1 Выпуклая комбинация 1. 2 Линейная комбинация Глава 2. Неравенство Коши-Буняковского 2. 1 Неравенство Коши-Буняковского 2. 2 Неравенство треугольника. Глава 3. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные. 3. 1 Множества связные, несвязные 3. 2 Множества ограниченные, неограниченные Глава 4. Замкнутость Глава 5. Компактные множества Заключение Используемая литература
Введение В математике существуют нестандартные методы решения. Нестандартными методами являются методы, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.
Цель данной работы - изучить теорию положения точек в пространстве и теорию множеств. Для достижения данной цели поставлены следующие задачи: • Определить понятие плоскости и n-мерного прстранства • Рассмотреть понятие расстояние • Рассмотреть неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника • Рассмотреть множества связанные, несвязанные, ограниченные, неограниченные • Изучить компактные множества линейной, неотрицательной и выпуклой кобинации точек
Глава 1. Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и nмерного пространства Евклидовым пространством является конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением, а также непосредственным обобщением обычного трёхмерного пространства. Плоскость это поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки. В трехмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.
1. 1 Выпуклая комбинация точек Определение. Множество (область) называется выпуклым, если из того, что и следует, что для [0, 1]. Другими словами, G выпуклое множество, если оно, вместе с любыми двумя своими точками, содержит в себе отрезок, соединяющий эти точки. ( "а" и "б" - выпуклые множества, а "в" не является выпуклым множеством, так как в нём есть такая пара точек, что соединяющий их отрезок не весь принадлежит этому множеству )
Теорема 1. Пусть G выпуклое множество. Тогда любая выпуклая комбинация точек, принадлежащих этому множеству, также принадлежит этому множеству. Теорема 2. Допустимая область задачи линейного программирования является выпуклым множеством. Теорема 3. Множество оптимальных планов задачи линейного программирования выпукло (если оно не пусто). Теорема 4. Для того, чтобы задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы целевая функция на допустимом множестве была ограничена сверху (при решении задачи на максимум) или снизу (при решении задачи на минимум).
Докажем одну из теорем: Теорема 2. Допустимая область задачи линейного программирования является выпуклым множеством. Доказательство. В стандартной форме в матричных обозначениях допустимая область G определяется условием Пусть и принадлежат G , т. е. Таким образом, допустимая область в задаче линейного программирования является выпуклым множеством. По аналогии с двумерным или трехмерным случаями, при любом n эту область называют выпуклым многогранником в n - мерном пространстве
1. 2. Линейная комбинация Выражение называется линейной комбинацией векторов , а числа называются коэффициентами линейной комбинации. Множество всевозможных линейных комбинаций векторов . называется линейной оболочкой векторов.
Глава 2. Неравенство Коши- Буняковского Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства Rn n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается Rn.
2. 1 Неравенство Коши-Буняковского Важное неравенство Коши справедливо для любых вещественных чисел ai и bi. Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax 2+2 Bx+C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант
2. 2 Неравенство треугольника. Эти неравенства называются неравенствами треугольника. Геометрически они означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон
Глава 3. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные. 3. 1. Множества связные несвязные Множество всех точек будем называть непрерывной линией в , соединяющей точки и , а ту вектор-функцию , которая порождает линию -- параметризацией этой линии. Определение : Множество называется связным, если любые две точки и этого множества можно соединить непрерывной линией G , целиком лежащей в множестве , то есть если существует путь , начинающийся в и заканчивающийся в , такой что при всех
Примеры связных областей на плоскости. Связными областями являются: • • • всё пространство ; замкнутые и открытые шары; гиперплоскости; замкнутые и открытые полупространства; замкнутые и открытые параллелепипеды; положительный и неотрицательный октанты.
3. 2. Множества ограниченные, неограниченные. Ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b: Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число b, такое что все элементы X не меньше : b: Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным. Множество , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.
Глава 4. Замкнутость Простейшие свойства открытых и замкнутых множеств. (1. ) Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто. (2. ) Если множество G открыто, то его дополнение CG замкнуто. (3. ) Сумма любого числа открытых множеств является открытым множеством. (4. ) Пересечение любого числа открытых множеств является открытым множеством. (5. ) Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством. (6. ) Сумма конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством. (7. ) Если множество F замкнуто, а множество G открыто, то множество FG замкнуто, а множество GF открыто.
Докажем несколько свойств: • (1. ) Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто. Доказательство: Любая точка х множества CF не принадлежит F и (в силу замкнутости F) не принадлежит множеству F' предельных точек F. Но это означает, что некоторая окрестность V(x) точки х не принадлежит F и поэтому принадлежит CF. • (7. ) Если множество F замкнуто, а множество G открыто, то множество FG замкнуто, а множество GF открыто. Доказательство. Достаточно заметить, что множество FG является пересечением замкнутых множеств F и CG, а множество GF является пересечением открытых множеств G и CF.
Глава 5. Компактные множества. Определение: Множество в метрическом пространстве называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу. Определение: Множество, лежащее в некотором метрическом пространстве , называется предкомпактным, или относительно компактным (компактным относительно), если его замыкание в компактно. Теорема 1: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , и относительно компактное, является ограниченным Теорема 2: В конечномерном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно. Теорема 3: В конечномерном нормированном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно. Теорема 4: Образом компактного множества при непрерывном отображении является компактное множество. Теорема 5: Образом относительно компактного множества при непрерывном отображении является относительно компактное множество.
Докажем одну из теорем: Теорема: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , и относительно компактное, является ограниченным. Доказательство. Замыкание множества М является компактным, следовательно, ограниченным. Но , а подмножество ограниченного множества также ограничено. В конечномерном пространстве выполняется также обратное утверждение.
5. 2. Примеры компактных и некомпактных множеств 1. В пространстве всякий отрезок будет компактен. (Так как пространство конечномерно, а данный отрезок является замкнутым и ограниченным множеством). 2. В пространстве шар с центром в и радиусом , то есть множество точек , таких, что , является компактным. (Аналогично по доказанной теореме). 3. В пространстве множество будет компактным, поскольку какую бы мы ни взяли бесконечную последовательность его элементов, из неё всегда можно будет выделить подпоследовательность, состоящую из одного элемента множества, которая, очевидно, будет сходящейся к этому элементу множества (определение). 4. В пространстве рассмотрим множество элементов , , … (у последовательности единица стоит на –м месте, а на остальных местах нули). Оно ограничено и замкнуто, но никакая подпоследовательность последовательности не фундаментальна и, значит, не сходится, поскольку при . Множество некомпактно.
Заключение Математическое обоснование экономических процессов в наше время приобретает все большую актуальность. Расмотрение неравенств, множеств, комбинаций точек плоскости и n-мерного пространства помогают более явно иллюстрировать экономические процессы и описывать изменения, происходящие в экономике в современном мире. В математике существуют нестандартные методы решения, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.
Используемая литература: • Высшая математика. Основы математического анализа: учебник для вузов, Геворкян П. С. • Основы математического анализа: В 2 -х ч. Часть II: учебник для вузов, Ильин В. А. , Позняк Э. Г. • Курс математического анализа. В 3 т. Т. 2: Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных: учебник для вузов, Кудрявцев Л. Д. • Математика в экономике: учебник: Ч. 1 Солодовников А. С. Бабайцев В. А. , Браилов А. В. , Шандра И. Г. • Задачи и упражнения по функциональному анализу, Треногин В. А. , Писаревский Б. М. Соболева Т. С. • Матричный анализ и линейная алгебра: учебное пособие, Тыртышников Е. Е.
Скачать презентацию Курсовая работа на тему Понятие линейной неотрицательной и
презентация курсовая.pptx