Курсовая работа на тему: Метод множителей Лагранжа

Курсовая работа на тему: Метод множителей Лагранжа решения задач линейного программирования Выполнил: Лазарев С. С. студент группы 816

ВВЕДЕНИЕ В задачи нелинейного программирования (НП) могут входить зависимости любого вида. Поэтому в общем виде задача НП состоит в определении максимального (минимального) значения функции. А в линейном программировании обязательным является условие, согласно которому целевая функция и все ограничения должны быть представлены только линейными зависимостями, то в задачах нелинейного программирования это условие снимается.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Пусть задана задача математического программирования: максимизировать функцию (1) при ограничениях (2)

Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функции нескольких переменных. При этом полагаем, что функции (1) и (2) непрерывны вместе со своими частными производными.

Для решения задачи составим функцию: (3)- функция Лагранжа, числа – множители Лагранжа

Определим частные производные и приравняем их к нулю

В результате получим систему уравнений:

Если функция (1) в точке х0 = (х01, х02, …. , х0 n) имеет экстремум функции, то существует такой вектор , что точка является решением системы (4). Следовательно, решая систему (4), получим множество точек, в которых функция Z имеет экстремальное значение.

При этом неизвестен способ определения глобального минимума или максимума. Однако, если решения системы найдены, то для определения глобального максимума (минимума) достаточно найти значения функции Z в соответствующих точках. Метод множителей Лагранжа имеет ограниченное применение, так как система (4), как правило, имеет несколько решений.

Пример На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 200 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством х1 изделий на первом предприятии, равны 4 х2 руб. , а затраты, обусловленные изготовлением х2 изделий на 2 предприятии, составляют (6 х22 + 20 х2) руб. Определить сколько изделий на каждом предприятии следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленные изготовлением необходимой продукции, были минимальными.

Решение: Если через х1 и х2 обозначить количество изделий, которые нужно произвести на первом и втором предприятии, то общие затраты равны: Z = 4 х12 + 6 х22 + 20 х2 при этом должно выполняться равенство х1 + х2 = 200

Составляем функцию Лагранжа:

Записываем необходимое условие существования экстремума этой функции: f’(x 1)= 8 x 1+ λ = 0 ; x 1= - λ/8 f’(x 2)= 12 x 2 + 20 + λ = 0 ; x 2= - (λ+20/12) f’(λ)= x 1+x 2 - 200= 0

Подставляем эти соотношение в третье уравнение системы, получаем - λ/8 - (λ+20/12) – 200 = 0 - 3λ - 2λ – 40 – 4800 = 0 - 5λ= 4840 λ = - 968 => x 1= - (968/8) = 121; x 2= - ( (-968+20) / 12) = 79 Z min = 4*1212 + 6*792 + 20*79 = 58564+374446+1580=97590

Таким образом, при производстве 121 изделия на первом предприятии и 79 изделий на втором предприятии затраты будут минимальными.