Курс высшей математики Геометрия и алгебра Часть 1

Курс высшей математики Геометрия и алгебра Часть 1 УГТУ-УПИ 2005 г.

Лекция 1 Определители, матрицы. I. Понятие матрицы. 2. Определители второго, третьего, n – го порядка. 3. Свойства определителей. Разложение определителя по элементам строки или столбца. 4. Вычисление определителей n - го порядка (2 метода).

1 Понятие матрицы. Рассмотрим систему с произвольным количеством уравнений и неизвестных Все свойства такой системы полностью определяются коэффициентами при неизвестных и тем, что стоит в правых частях уравнений.

Все эти числа можно записать в виде таблицы, имеющей определённое количество строк и столбцов, которую мы будем называть матрицей. Матрицей размера чисел где называется таблица - номер строки, - номер столбца, на пересечении которых расположены :

Пример. - матрица размера (2 x 3) Если порядка матрица называется квадратной Пример. - квадратная матрица второго порядка.

Главная и побочная диагональ квадратной матрицы:

Частные случаи квадратных матриц: а) треугольная матрица Пример. б) диагональная матрица Пример.

в) единичная матрица - единичная матрица второго порядка. - единичная матрица третьего порядка.

Транспонированная матрица - это матрица, построенная из матрицы , путем замены строк на столбцы с сохранением их номеров. Пример.

Пример. 2. Определители второго, третьего, n – го порядка. Рассмотрим квадратную матрицу 2 -го порядка

О п р е д е л и т е л е м в т о р о г о п о р я д к а, соответствующим квадратной матрице второго порядка, называется число Правило. Определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали минус произведение элементов на побочной диагонали.

Пример. Рассмотрим квадратную матрицу 3 -го порядка

О п р е д е л и т е л е м т р е т ь е г о п о р я д к а, соответствующим квадратной матрице третьего п о р я д к а , н а з ы в а е т с я ч и с л о

Правило. + -

3. Свойства определителей. (уметь доказывать для определителей третьего порядка) 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется: 2. Перестановка любых двух строк (столбцов) меняет знак определителя:

3. Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю: 4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

5. Определитель, у которого две строки (2 столбца) пропорциональны, равен нулю: 6. Определитель, в некоторой строке которого каждый элемент равен сумме двух слагаемых, равен сумме двух определителей:

7. Величина определителя не изменится, если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число k: Замечание. В новом определителе без изменения записывается строка, которую умножали на k (рабочая строка).

Минором элемента квадратной матрицы называется определитель, полученный из данного путём вычёркивания -й строки и -го столбца. Пример.

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы Пример. называется число

8. Величина определителя равна сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: – формула разложения определителя третьего порядка по первой строке.

Для определителя n – го порядка – формула разложения по элементам j – го столбца; – формула разложения по элементам i – й строки. Замечание. В формулах разложения выражается через определители порядка (n-1), т. е. на единицу меньше исходного.

9. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю: 10. Величина треугольного определителя равна произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

Доказательство Разложим определитель по элементам первого столбца Замечание. Перечисленные свойства используются при вычислении определителей.

4. Вычисление определителей n - го порядка (2 метода). I. Понижение порядка по свойству 8 (формулы разложения по элементам строки или столбца). II. Приведение определителя к треугольному виду (алгоритм на основе свойства 7).

МИКРОТЕСТ 1 1. Матрица A имеет размерность 4 x 4. Каков порядок минора элемента a 41? 2. Будут ли совпадать знаки у алгебраического дополнения и минора элемента a 23 ? 3. При вычислении определителя 6 -го порядка методом разложения по строке (столбцу) сколько определителей необходимо будет вычислить, и какого они будут порядка (учитывать только первое разложение) ? 4. Определитель матрицы А равен 4. Чему равно количество строк этой матрицы, если количество столбцов равно 5?