Курс высшей математики Геометрия и алгебра

Курс высшей математики Геометрия и алгебра Часть 1 УГТУ-УПИ 2005 г.

Лекция 4 Введение в математический анализ. 1. Непрерывность основных элементарных функций. 2. Свойства непрерывных в точке функций. 3. Непрерывность обратной и сложной функции. 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Непрерывность основных элементарных 1. функций. К основным элементарным функциям относятся следующие функции: Т Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке их области определения.

2. Свойства непрерывных в точке функций. Т 1 Пусть и - непрерывны в точке . Тогда: 1. 2. 3. при - непрерывны в точке .

Т 2 (Об устойчивости знака непрерывной функции). Если - непрерывна в точке и , то такая -окрестность точки , что для всех значений из этой окрестности и имеет знак, совпадающий со знаком . Доказательство. По условию то есть Если взять то числа а значит и должны иметь одинаковый знак.

3. Непрерывность обратной и сложной функции. Пусть [a, b] – область определения для y = f (x) , а - её область значений. Пусть также любому значению функции соответствует одно значение аргумента

Тогда: 1. – область определения новой функции x аргумента y; 2. [a, b] – область значений функции x аргумента y; Обозначение для новой функции: Функция называется обратной для функции .

Т Если: 1. - строго монотонная и непрерывная на отрезке , 2. , то - строго монотонная и непрерывная на .

Сложная функция. Пусть 1. задана на и имеет множество значений 2. задана на Тогда , на множестве задана сложная функция или

Пример: – сложная функция.

Т Если ` 1. – непрерывна в точке , 2. непрерывна в точке , то ` – непрерывна в точке . Вывод: Если исходные функции непрерывны в точке, то в результате их сложения, вычитания, умножения, деления (если знаменатель не равен нулю) и перехода к обратной и сложной функции также получаются непрерывные в этой точке функции.

4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Т 1 (Об ограниченности функции). Если функция непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке, т. е. Замечание. Требование непрерывности на отрезке обязательно, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной. Пример: непрерывная на , но не ограничена.

Т 2 (О достижении наибольшего и наименьшего значений). Если непрерывна на , то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Т 3 (Об обращении в нуль ). Если непрерывна на и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке найдётся точка x=x 0 в которой f( x 0 ) = 0.

Т 4 (О существовании промежуточных значений ). Если непрерывна на и на его концах принимает значения f(a)=A, f(b)=B и С – любое число, заключённое между A и B то на этом отрезке найдётся точка x=x 0 в которой f( x 0 ) = C.