КУРС Теория упругости Лектор — ст преподаватель кафедры

КУРС «Теория упругости» Лектор - ст. преподаватель кафедры теоретической и строительной механики (Т и СМ) Балашова Ольга Стефановна

ЛЕКЦИЯ № 9 Изгиб тонких пластинок Основные вопросы: Гипотезы теории плит. n Выражения внутренних усилий через напряжения в плитах. Дифференциальные уравнения равновесия. n Выражение перемещений и деформаций через прогибы. n Выражение напряжений через деформации. n

ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК Пластинкой является тело, ограниченное двумя плоскостями, расстояние между которыми , называемое толщиной пластинки, мало по сравнению с размерами оснований. n Геометрическое место точек, равноудаленных от верхней и нижней наружных поверхностей плиты, называют срединным слоем. Изогнутое положение точек срединного слоя будем называть изогнутой срединной поверхностью. n Плоскость, делящая толщину пластинки пополам, называется срединной плоскостью. n

Оси X и Y располагают в срединной плоскости, ось Z перпендикулярна срединной плоскости. n Изгиб пластинки вызывается нагрузкой, приложенной перпендикулярно к срединной плоскости. n

n Линия пересечения срединной плоскости с боковыми гранями образует контур пластинки. n Тонкой считают пластинку, у которой отношение толщины к другому наименьшему размеру менее, чем 0, 1. n Если соотношение в размерах плиты не отвечает приведенному условию, то такая плита считается толстой

Гипотезы теории плит Тонкие пластинки рассчитывают по технической теории. Она базируется на следующих гипотезах Кирхгофа: n гипотеза прямой нормали Это допущение аналогично гипотезе плоских сечений в теории изгиба балок. Считается, прямолинейный элемент при изгибе сохраняет свою длину.

В соответствии с гипотезой прямой нормали, нормаль к срединной плоскости остается прямой и нормальной к изогнутой срединной поверхности, длина ее не меняется;

Гипотезы теории плит n гипотеза о нерастяжимости срединной плоскости. На основании этой гипотезы считается, что срединная плоскость при изгибе не меняет своей формы и размеров; n гипотеза о ненадавливании слоев пластинки: давление слоев пластинки друг на друга перпендикулярно срединной плоскости считается малым и им можно пренебречь.

Гипотезы теории плит n Гипотеза малости перемещений – перемещения точек срединного слоя происходят по перпендикуляру к нему и они малы по сравнению с толщиной плиты (менее трети толщины).

Схема решения задачи изгиба плит n n Аналіз статичної сторони задачі: вираження внутрішніх зусиль через напруги, диференціальні рівняння рівноваги, з'ясування статичної невизначеності. Аналіз геометричної сторони задачі: вираження переміщень і деформацій через прогини.

n n n Анализ физической стороны задачи: выражение напряжений через прогибы плиты, выражение внутренних усилий через прогибы плиты, раскрытие статической неопределимости – выражение условий равновесия через прогибы. Формулировка граничных условий: выражение статических граничных условий через прогибы плиты. Изучение методов расчета плит

Анализ статической стороны задачи.

Анализ статической стороны задачи. n дифференциал момента, изгибающего ось : n Полный изгибающий момент, действующий в сечении единичной ширины:

Анализ статической стороны задачи n Аналогично получается погонный изгибающий момент в направлении оси : n крутящие моменты в направлении осей и у:

Анализ статической стороны задачи. В силу закона парности касательных напряжений равны другу и погонные крутящие моменты, то есть: n Равнодействующие вертикальных касательных напряжений по граням дают погонные поперечные силы, действующие в плоскостях с нормалями и : n

Внутренние усилия в плитах. Правило знаков.

Дифференциальные уравнения равновесия

Дифференциальные уравнения равновесия n Уравнения равновесия выделенного элемента требуют, чтобы: n Составим первое из условий равновесия: Или:

n n Аналогично получаем второе условие равновесия, которое имеет вид: Сумма проекций на вертикальную ось всех сил, действующих на рассматриваемый элемент, дает: Или:

Три дифференциальных уравнения равновесия В три дифференциальные уравнения равновесия входят 5 неизвестных, следовательно задача изгиба плит статически неопределимая и требует для своего решения рассмотрения геометрической и физической сторон.

ЛЕКЦИЯ № 10 Анализ геометрической стороны задачи. Выражение перемещений и деформаций через прогибы. Выражение напряжений через прогибы. Выражение усилий через прогибы.

Перемещения и деформации На основании первой гипотезы Кирхгофа перемещения всех точек одной нормали вдоль оси одинаковы и соответствуют перемещениям точки на срединной плоскости. Эти перемещения называются прогибами срединной плоскости. По той же гипотезе линейные деформации вдоль оси Z отсутствуют: n

Выражение перемещений и деформаций через прогибы Прогибы всех точек, лежащих на нормали « » одинаковы.

Перемещения и деформации n В силу гипотезы прямых нормалей нет сдвигов между нормалью и срединной изогнутой поверхностью :

Выражения перемещений через прогибы Воспользуемся гипотезой нейтрального срединного слоя :

Выражения деформаций через прогибы

Выражение напряжений через деформации На основании третьей гипотезы Кирхгофа напряжения. n Закон Гука для относительных линейных деформаций при плоском напряженном состоянии имеет вид: n

Выражение напряжений через деформации

Выражение напряжений через прогибы

Выражение изгибающих и крутящих моментов через прогибы

Выражение поперечных сил через прогибы плиты

Выражение напряжений через изгибающие и крутящие моменты n Максимальные значения этих напряжений определяются формулами:

Напряжения меняются по толщине плиты по линейному закону.

Выражение напряжений через прогибы

Основное уравнение изгиба плит Уравнение Софи Жермен и Лагранжа

Постановка задачи В плитах перемещения, деформации, напряжения и все внутренние усилия выражаются через прогибы. Поэтому решить плиту значит найти функцию прогибов, которая отвечает основному уравнению изгиба плит и граничным условиям или условиям опирания плиты

Определение опорных реакций плит Основное уравнение изгиба плит является уравнением четвертого порядка, поэтому оно позволяет учесть на каждой опорной кромке плиты только по 2 граничных условия, а имеем на границе плиты три внутренних усилия – так на краю плиты, нормалью к которому является ось х, действуют Mx, Hx Qx.

Примерное распределение опорных реакций для прямоугольной шарнирно опертой плиты

Формулировка граничных условий в плитах n Функция прогиба в задаче изгиба плит должна удовлетворять основному уравнению изгиба плит и граничным условиям, описывающим характер опирания плиты на каждой ее кромке. n Пусть имеем плиту прямоугольную в плане, у которой одна грань ОС жестко защемлена, другая грань ОА шарнирно опирается, а две остальные грани СВ и АВ свободны

Формулировка граничных условий Грань ОС Грань ОА с учетом того, что грань прямолинейна:

Формулировка граничных условий n Грань АВ: На этой грани неизвестны прогиб и угол поворота, но известны изгибающий момент и вертикальная составляющая внутренних усилий: Mx=0; Rx=0, или Mx равен распределенной по кромке моментной нагрузке, или Rx равна распределенной вертикальной нагрузке, то есть:

Методы решения уравнения изгиба плит Изгиб прямоугольных плит, шарнирно опертых по всему контуру. Решение Навье. n Изгиб прямоугольных плит, шарнирно опертых по двум параллельным граням при произвольном характере опирания двух других граней. Способ Мориса Леви. n

Изгиб прямоугольных плит, шарнирно опертых по всему контуру. Решение Навье. Решением плиты является функция прогибов, которая должна удовлетворять основному уравнению изгиба плит и граничным условиям (условиям опирания плиты). n Для плит, шарнирно опертых по всему контуру, Навье предложил искать решение в виде двойного тригонометрического ряда по синусам. n

Плита шарнирно опертая по всему контуру

Решение в виде двойного тригонометрического ряда по синусам Тригонометрический ряд удовлетворяет всем граничным условиям (кинематическим и статическим) плиты, шарнирно опертой повсему контуру

Граничные условия Проверим при каких условиях функция прогибов, взятая в виде ряда, будет удовлетворять основному уравнению изгиба плит