Курс линейной алгебры Теория принятия оптимальных решений Системы

Курс линейной алгебры Теория принятия оптимальных решений Системы линейных уравнений N- мерные векторы Матрицы и определители Линейная алгебра Имеется ограниченные запасы некоторых видов сырья из которых возможно изготовить различное количество различных товаров. Как использовать ресурсы так, чтобы выпуск товара принес максимум прибыли?

Системы линейных уравнений проф. Сагитов Р. В.

ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ На мебельной фабрике изготавливают столы, стулья и кресла. Для изготовления этих изделий используются: доски, фанера и ткань. Затраты материалов на изготовление единицы продукции и дневные запасы материалов приведены в таблице. Сколько столов, стульев и кресел может выпустить фабрика за дневную смену? Материалы Нормозатраты материалов на изготовление единицы продукции кресло Запасы материалов 5 4 94 1 6 2 62 2 1 5 65 стол стул Доски, м 3 Фанера, м² Ткань, м

Система двух уравнений с двумя неизвестными • Графическое представление х₂ Решение системы – это пара чисел Х₀ = (Х₀₁; Х₀₂) при подстановке которых в систему уравнений, каждое уравнение превращается в правильное равенство прямая l₁ х₀₂ х₀₁ прямая l₂ х₁

Система двух уравнений с двумя неизвестными (решение единственное) Решением этой системы уравнений будет пара чисел Х=(3; -2) Графическое представление х₂ 5/2 1 3 х₁ 1 5/3 -2

Система двух уравнений с двумя неизвестными( решений нет) Дана система Графическое представление х₂ 2 Данная система решений не имеет. Система не совместная. 1, 5 2, 25 ₁ 3 х

Система двух уравнений с двумя неизвестными (решений множество) Дана система Геометрическое представление х₂ 2 3 х₁ Прямые совпали Множество решений

Система двух уравнений с тремя неизвестными Дана система Геометрическое представление 1. Это два уравнения плоскостей: π₁ и π₂. Они могут : 1. пересекаться (множество решений) 2. быть параллельными (нет решений) ; 3. совпадать (множество решений) π₁ 2. π₁ 3. π₁ π₂ π₂ π₂

Системы двух уравнений с тремя неизвестными 1. Пусть дана СЛУ Общим решением этой системы будет набор чисел: Х = (2 - 7/5∙х₃; -3 -11/5∙х₃; x₃), если свободной переменной x₃ придать частное значение, например х₃ = 0, то получим набор чисел, который называется частным решением Х =(2; 3; 0). Придавая свободной переменной х₃ различные значения будем получать множество решений, соответствующих различным точкам лежащим на прямой пресечения плоскостей

Система трех уравнений с тремя неизвестными Пусть дана система: Геометрическое представление 1. А 2. 1. Система имеет единственное решение(точка А) 2. Система не имеет решений. (Система не совместная) 3. Система имеет множество решений 3.

Определения Рассмотрим схему Системы лин. уравнений Совместные (решение есть) Определённая (единственное решение) Не совместные (решений нет) Не определённая Не определенная (множестворешений) (множество решний)

Пример Составим математическую модель задачи, приведенной ранее. Обозначим через х₁, х₂, х₃ количество стульев, столов и кресел соответственно, которое возможно изготовить из имеющихся запасов материалов, тогда математическая модель примет вид

Решение примера

Таблицы Приведенные преобразования системы удобно делать в табличном виде Таким образом из материалов имеющихся в запасе можно изготовить: Стульев х₁ = 12; Столов х₂ = 6; Кресел х₃ = 7 х₁ 0 1 0 х₂ х₃ -13 -2 6 2 1 -11 1 35 0 28 0 -11 1 1 0 0 1 Св. чл. -92 62 -59 210 180 -59 6 12 7

Система m уравнений с n неизвестными Запишем систему в общем виде Решением системы является набор чисел Х =(х1; х2; …хn) при подстановке которого в систему каждое уравнение превращается в правильное равенство Уравнение вида 0∙х1+ 0∙х2+… 0∙хn = 0 называется тривиальным Уравнение вида 0∙х1+ 0∙х2+… 0∙хn = в называется противоречивым Если система содержит противоречивое уравнение, то она не совместная

Разрешенная система линейных уравнений Переменные х1; х2 ; … хm называются разрешенными Переменные хm+1; хm+2 ; … хn называются свободными

Равносильные системы линейных уравнений Две системы линейных уравнений называются равносильными, если решения одной системы являются решением другой и наоборот Равносильные преобразования систем: - Вычеркивание тривиального уравнения; - Умножение любого уравнения системы на число, не равное нулю; - Замена любого уравнения системы суммой с другим уравнением системы, умноженным на число, не равное нулю.

Метод Жордана - Гаусса Жордан Камиль Мари Эдмон (1837 -1922) Французский математик Гаусс Иоганн Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик

Метод Жордана-Гаусса Рассмотрим деталь таблицы j s i aij ais r arj ars i aij- (arj/ars)∙ais r arj/ars 0 1 : ars + ∙ (-ais)

Пример Пусть деталь таблицы имеет вид i j 3 s 7 r 5 8 i 3+(5/8)∙(-7) r 5/8 : 8 0 + 1 ∙ (-7)

Формула метода Пусть элемент ars≠ 0 выбран как разрешающий, тогда элементы аij‘ вычисляются по формулам

Пример Решить систему линейных уравнений 2 х1 + 3 х2 – х3 + х4 = 2 х1 – х2 + 2 х3 – х4 = 2 4 х1 + х2 + 3 х3 - х4 = 6

Однородные системы уравнений Такие системы всегда совместны, потому что у них всегда есть набор чисел Х = ( 0, 0, …, 0), который является решением. Если m < n, то такие системы имеют ненулевые решения. Ниже будет показано, как найти эти решения.