Курс лекций по теории игр 1 Список

Курс лекций по теории игр 1

Список литературы l l l Абламская Л. В. , Бабешко Л. О. , Бывшев В. А. , Дрогобыцкий И. Н. и др. Экономикоматематическое моделирование, «Экзамен» , М. , 2004, 2006. Лабскер Л. Г. , Ященко Н. А. Теория игр в экономике (практикум с решениями задач), «Кнорус» , М. , 2012. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория, «Айрис Пресс» , М. , 2002. 2

Содержание курса 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Структура экономических задач. Метод математического моделирования решения экономических задач. Основные понятия и аксиома теории игр. Минимаксные стратегии игроков и решение игры с седловой точкой. Пример игры без седловой точки, смешанные стратегии игроков и основная теорема теории игр. Алгоритмы решения игры при отсутствии седловой точки. Игры с природой (элементы теории статистических решений). 3

§ 1. Структура экономических задач 1. Исходные данные: 2. Искомые неизвестные: 3. Взаимосвязи величин (1) и (2). 4

Пример: задача об оптимальной посевной стратегии фермера Фермер на своём участке земли может посеять в текущем году одну из трёх культур: А 1 - овёс, А 2 - рожь, А 3 – рис. Урожайность каждой из этих культур зависит от погоды, которая может находится в одном из трёх состояний: В 1 - сухо, В 2 - нормально, В 3 – дождливо. Уровни урожайности зерновых (yij) даны в следующей таблице вместе с их средними ценами. 5

Урожайность зерновых (цт/га) и их цены (руб. /цт) Культура Це на P А 1 А 2 А 3 Урожайность культур при состояниях погоды В 1 В 2 1000 у1, 1 = 20 у1, 2 =7, 5 В 3 у1, 3 =3, 5 800 у2, 1 = 5 у2, 2 =12, 5 у2, 3 =7, 5 1200 у3, 1 = 5 у3, 2 = 7 у3, 3 = 10 6

Завершение формулировки задачи об оптимальной посевной стратегии фермера Требуется: выбрать оптимальную посевную стратегию фермера, предполагая, что о возможном состоянии погоды отсутствует дополнительная информация. Замечание. Посевная стратегия фермера считается оптимальной, если она приносит фермеру максимальный в определённом смысле доход. 7

Исходные данные и искомые неизвестные в задаче об оптимальной посевной стратегии фермера l Исходные данные: 1) значения урожайности зерновых при различных состояниях погоды: 2) Цены зерновых: l Искомые неизвестные: посевная стратегия Ai* , приносящая фермеру максимальный гарантированный доход 8

Взаимосвязи исходный данных и искомых неизвестных - значения дохода с гектара для каждой посевной стратегии при возможных состояниях погоды: B 1 B 2 A 1 a 11 = 20000 a 12 = 7500 B 3 a 13 = 3500 Гарантиро ванный доход с гектара α 1 = 3500 A 2 a 21 = 4000 a 22 = 10000 a 23 = 6000 α 2 = 4000 A 3 a 31 = 6000 a 32 = 8400 α 3 = 6000 a 33 = 12000 9

§ 2. Метод математического моделирования в экономике Метод математического моделирования (МММ) решения экономических задач состоит в предварительном построении упрощённой схемы изучаемого объекта (задачи или процесса), составленной математическим языком и именуемой математической моделью, а затем - в вычислении по этой модели значений искомых величин (2): 10

Математическая модель объекта Определение. Экономико-математическая модель (ЭММ) объекта – это некоторое математическое выражение (график или таблица, уравнение или система уравнений, дополненная, возможно, неравенствами, условие экстремума), связывающая воедино известные характеристики объекта (1) и его искомые характеристики (2). Терминология. Исходные данные(1)- это экзогенные переменные модели, искомые величины (2) – это эндогенные переменные модели. Назначение математической модели: Экзогенные переменные Модель Эндогенные переменные 11

Два класса ЭММ: дескриптивные модели и оптимизационные модели Схема построения моделей обсуждается в книге: Бывшев В. А. Эконометрика, 2008. 12

Две формы ЭММ l Структурная форма: дескриптивной модели – (6), оптимизационной модели – (7). l Приведённая форма (расчётная схема) – (5). 13

§ 3. Основные понятия и аксиома теории игр l Участники конфликта (игроки) и их стратегии l Ситуация игры и её исход 14

Пример конфликта (игры): ГНИ (игрок А) – Физическое лицо (игрок В) l l l Y – налогооблагаемый доход игрока В за принятый отрезок времени. Стратегии игрока А: А 1 – проверять источники дохода В, А 2 - не проверять источники дохода В. Стратегии игрока В: В 1 – утаивать доход Y, В 2 - не утаивать доход Y (платить налог Т). 15

Продолжение примера игры «ГНИ – Физическое лицо» l l Возможные ситуации игры: (А 1, В 1), (А 1, В 2), (А 2, В 1), (А 2, В 2). Возможные исходы игры: R(А 1, В 1) = (T+F, - (T+F)), R(А 1, В 2) = (T, - T), R (А 2, В 1) = (-(T+F), (T+F)), R(А 2, В 2) = (T, - T). (12) (13) 16

Игра с нулевой суммой (антагонистическая игра) l Свойство игры с нулевой суммой: l Задание исхода игры с нулевой суммой: l Платёжная матрица игры: 17

Пример. Платёжная матрица игры «ГНИ – Физическое лицо» 18

Нормальная форма игры 19

Игра «ГНИ – Физическое лицо» в нормальной форме 20

Аксиома (модель) поведения игроков l Ответ игрока А на выбранную игроком В стратегию Bj: l Ответ игрока В на выбранную игроком А стратегию Ai: 21

§ 4. Минимаксные стратегии игроков и решение игры с седловой точкой. Порядок выбора оптимальной стратегии игрока А l Для каждой своей стратегии определить гарантированный выигрыш αi: l Из величин (19) выбрать наибольшую (максимин), и отметить соответствующую ей стратегию Аi(α). 22

Порядок выбора игроком B своей оптимальной стратегии l Для каждой своей стратегии Вj определить максимально возможный выигрыш βj игрока А: l Из величин (21) выбрать наименьшую (минимакс): и отметить соответствующую ей стратегию Вj(β). 23

Оптимальные стратегии игроков в игре с седловой точкой l Теорема. Если α = β, то игра имеет седловую точку и минимаксные стратегии (Аi(α), Вj(β) ) являются оптимальными для игроков в следующем смысле: l Пример. Игра «ГНИ – Физическое лицо» : 24

Геометрическая интерпретация платёжной матрицы с седловой точкой i n i* ai*j* 2 1 a 11 1 2 j* m j 25

Терминология Если игра имеет седловую точку, то l величина v = α = β именуется ценой игры, l набор называется решением игры, l стратегии Ai , Bj игроков именуются их чистыми стратегиями. Замечание. В теоретико-игровой задаче исходными данными считается таблица с нормальной формой игры, а искомыми неизвестными – решение игры. 26

§ 5. Пример игры без седловой точки, смешанные стратегии игроков и основная теорема теории игр Пример (игра «загадай число» ). Игроки A и B ставят на кон по некоторому количеству денег M, затем записывают на своих листах выбранные ими по желанию натуральные числа (соответственно n. A и n. B) и, наконец, по команде открывают свои листы. Если сумма S = (n. A + n. B) оказывается чётным числом, то кон забирает игрок A, если же S нечётное число, то кон забирает игрок B. Требуется определить оптимальные стратегии игроков в данной игре. 27

Стратегии игроков в игре «загадай число» l l Стратегии игрока А: А 1 – выбрать чётное число n. A, А 2 – выбрать нечётное число n. A. Стратегии игрока В: В 1 – выбрать чётное число n. B, В 2 – выбрать нечётное число n. B. 28

Запись игры «загадай число» в нормальной форме 29

Верхняя и нижняя цена игры «загадай число» в чистых стратегиях и минимаксные стратегии игроков l Верхняя и нижняя цена игры: α = -M; β = M. l Минимаксные стратегии игрока A: А 1 и А 2. l Минимаксные стратегии игрока B: B 1 и B 2. l Как в данной игре игроки должны выбирать свои стратегии? 30

Смешанные стратегии игроков l l l Определение. Смешанной стратегией игрока называется стратегия, случайно выбираемая из множества его чистых стратегий, в соответствии с заданными вероятностями такого выбора. Смешанная стратегия игрока A: Смешанная стратегия игрока B: 31

Средний выигрыш игрока A, верхняя и нижняя цена игры в смешанных стратегиях l Средний выигрыш игрока A в смешанных стратегиях (выигрыш-функция игрока А): l Нижняя цена игры в смешенных стратегиях (максимальный гарантированный средний выигрыш игрока А): p l q Верхняя цена игры в смешанных стратегиях (минимальный гарантированный средний проигрыш игрока В): q p 32

Пример: средний выигрыш игрока A в игре «загадай число» при использовании игроками их смешанных стратегий l Платёжная матрица игры и смешанные стратегии игроков: l Средний выигрыш игрока А в смешанных стратегиях: 33

Пример: расчёт нижней цены игры «Загадай число» в смешанных стратегиях l l Расчёт среднего гарантированного выигрыша игрока А: q Расчёт нижней цены игры в смешанных стратегиях (максимального гарантированного среднего выигрыша игрока А): p p q 34

Пример: расчёт верхней цены игры «Загадай число» в смешанных стратегиях l l Расчёт максимального среднего проигрыша игрока В: p Расчёт верхней цены игры в смешанных стратегиях (минимального гарантированного среднего проигрыша игрока В): q q p 35

Оптимальные стратегии игроков и цена игры без седловой точки l Теорема (основная теорема теории игр (Дж. фон Нейман, 1928 г. ). Для произвольной игры с нулевой суммой, не имеющей седловой точки, существуют смешанные стратегии игроков , отклоняться от которых игрокам невыгодно в следующем смысле: при этом 36

Терминология и замечание Если в игре без седловой точки имеет место равенство α’ = β’, то l величина v’ = α’ = β’ именуется ценой игры в смешанных стратегиях , l набор называется решением игры в смешанных стратегиях, l стратегии игроков именуются их оптимальными смешанными стратегиями. Замечание. Использование игроками смешанных стратегий предполагает многократное повторение игры. 37

§ 6. Алгоритмы решения игры при отсутствии седловой точки l Аналитическое решения игры 2 x 2 38

Вычисление решения игры при помощи задачи линейного программирования l Если в платёжной матрице С есть нулевые или отрицательные элементы, то ко всем элементам ai, j платёжной матрицы прибавить величину l Решить задачу линейного программирования 39

Продолжение алгоритма l Вычислить 40

Продолжение алгоритма l Решить задачу линейного программирования 41

Завершение алгоритма l Вычислить 42

§ 7. Игры с природой (элементы теории статистических решений) l l Определение. Игра именуется «Игрой с природой» , если один из игроков (игрок В) на любую стратегию другого игрока (игрока А) отвечает некоторой фиксированной смешанной стратегией B’q, выбор которой не подчинён аксиоме оптимальности поведения игрока В в игре. Замечание. В игре с природой игрок В именуется «природой» . Стратегии игрока В именуются состояниями природы. 43

Пример игры с природой (задача об оптимальной посевной стратегии фермера) Фермер (игрок А) на своём участке земли может посеять в текущем году одну из трёх культур: А 1 - овёс, А 2 - рожь, А 3 – рис. Урожайность каждой из этих культур зависит от погоды (игрок В – природа), которая может находится в одном из трёх состояний: В 1 - сухо, В 2 - нормально, В 3 – дождливо. Средние цены зерновых и их уровни урожайности (yij) при каждом состоянии погоды известны и даны в следующей таблице. 44

Урожайность зерновых и их цены Культура Це на P (руб. /цт) А 1 А 2 А 3 Урожайность культур (цт/га) при состояниях погоды В 1 В 2 1000 у1, 1 = 20 у1, 2 =7, 5 В 3 у1, 3 =3, 5 800 у2, 1 = 5 у2, 2 =12, 5 у2, 3 =7, 5 1200 у3, 1 = 5 у3, 2 = 7 у3, 3 = 10 45

Платёжная матрица (доходы фермера с гектара ) B 1 B 2 A 1 a 11 = 20000 a 12 = 7500 B 3 α a 13 = 3500 α 1 = 3500 A 2 a 21 = 4000 a 22 = 10000 a 23 = 6000 α 2 = 4000 A 3 a 31 = 6000 a 32 = 8400 α 3 = 6000 β β 1= 20000 β 2= 10000 a 33 = 12000 β 3= 12000 46

Завершение формулировки задачи об оптимальной посевной стратегии фермера Требуется: выбрать оптимальную посевную стратегию фермера, предполагая, что 1) о возможных состояниях погоды отсутствует дополнительная информация, 2) известна дополнительная информация о состояниях погоды в виде их статистических вероятностей (q 1, q 2, q 3). Замечание. Посевная стратегия фермера считается оптимальной, если она приносит фермеру наибольший в определённом смысле доход. 47

Выбор стратегии в игре с природой по критерию Вальда l Максиминныйный критерий Вальда. Игрок А должен выбирать свою максиминную стратегию Ai(α), приносящую ему максимальный гарантированный выигрыш: i l j Пример (задача о посевной стратегии фермера): i j 48

Уровни риска стратегий игрока в игре с природой l Определение. Уровнем риска стратегии Аi игрока А в ситуации (Ai, Bj) игры с природой называется величина l Определение. Риском игрока А при выборе им стратегии Ai называется величина j 49

Выбор стратегии в игре с природой по критерию Сэвиджа l Критерий минимального риска Сэвиджа. Игрок А должен выбирать свою стратегию Ai(r), приносящую ему минимальный уровень риска: i l j Алгоритм выбора стратегии по критерию Сэвиджа 1) Определить при каждом состоянии природы максимальные выигрыши игрока А: β 1, β 2, …, βm. 50

Продолжение алгоритма выбора стратегии по критерию Сэвиджа Составить согласно (36) матрицу рисков R=(rij) и вычислить по правилу (37) уровни рисков всех стратегий игрока. l Выбрать наименее рискованную стратегию Ai(r). Пример. Выбор посевной стратегии фермера по критерию Сэвиджа. l Ø Определяем при каждом состоянии природы максимальные доходы фермера: β 1=20000, β 2=10000, β 3=12000. 51

Пример выбора стратегии по критерию Сэвиджа Ø Вычисляем матрицу рисков: Ø Вычисляем риски посевных стратегий фермера: r 1= 8500, r 2 = 16000, r 3=14000. Выбираем наименее рискованную стратегию: Ø 52

Выбор стратегии в игре с природой при известных вероятностях её состояний Ø По известной платёжной матрице игры и известном смешанном состоянии природы рассчитать для всех чистых стратегий Ai игрока А средние выигрыши: Ø Выбрать стратегию, обеспечивающую игроку А максимальный средний (ожидаемый) выигрыш: 53

Обсуждённые вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Структура экономических задач. Метод математического моделирования решения экономических задач. Основные понятия теории игр и модель поведения игроков. Минимаксные стратегии игроков и решение игры с седловой точкой. Пример игры без седловой точки, смешанные стратегии игроков и основная теорема теории игр. Алгоритмы решения игры при отсутствии седловой точки. Игры с природой (элементы теории статистических решений). 54