Курс лекций по медицинской и биологической физике Гидродинамика

Курс лекций по медицинской и биологической физике Гидродинамика.

План лекции. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Жидкость и её основные характеристики. Уравнение неразрывности струи. Уравнение Бернулли Уравнение Ньютона. Формула Пуазейля. Измерение вязкости. Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса. Поверхностное натяжение.

1. Жидкость и её основные характеристики. n n Жидкость - это одно из агрегатных состояний вещества. По своим свойствам занимает промежуточное положение между газами и твердыми телами. Характерным свойством жидкости является текучесть, т. е. относительно легкая смещаемость молекул под действием внешних сил. Однако взаимное смещение частиц сопровождается некоторым сопротивлением, которое называется внутренним трением или вязкостью жидкости.

Подобно твердым телам жидкости мало сжимаемы и обладают большой плотностью, подобно газам принимают форму сосуда, в котором находятся. n Давление в жидкости передается равномерно во все стороны (закон Паскаля). Все эти свойства жидкостей можно объяснить особенностями молекулярного строения жидкостей. n

Особенности молекулярного строения жидкостей.

Ближний порядок n n Для внутреннего строения жидкостей характерен ближний порядок (упорядоченное расположение только ближайших частиц). По теории Я. И. Френкеля, молекулы жидкости, подобно частицам твердого тела, колеблются около положений равновесия, однако эти положения не являются постоянными. По истечении некоторого времени "оседлой жизни" молекула скачком переходит в новое положение равновесия на расстояние d равное среднему расстоянию между соседними молекулами.

Среднее расстояние между молекулами в жидкости можно вычислить, используя понятие концентрации n (количество молекул в единице объема): n Порядок d составляет 10 -10 м = 1 Å. Например, для воды: n

Среднее время оседлой жизни называют временем релаксации t, которое зависит от температуры: где t 0 - средний период колебания молекулы около положения равновесия. n Средняя скорость движения молекулы в жидкости: много меньше, чем в газах. Например, для воды. n

2. Уравнение неразрывности струи. n n Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц, движущейся жидкости потоком. Стационарным или установившимся называется течение, при котором скорость частиц жидкости в каждой точке потока со временем не изменяется. Установившееся течение характеризуют линиями тока - воображаемыми линиями, совпадающими с траекториями частиц. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока

1 2

Уравнение неразрывности струи: произведение скорости течения на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока: Таким образом между S и v существует обратно пропорциональная зависимость

3. Уравнение Бернулли. Справедливо для идеальной жидкости. Идеальная жидкость: - 1) несжимаемая; 2) отсутствуют силы внутреннего трения, т. е. нет взаимодействия жидкости. между частицами В стационарно текущей идеальной жидкости выбираем трубку тока, ограниченную сечениями S 1 и S 2.

n По закону сохранения энергии изменения полной энергии жидкости в местах сечений S 1 и S 2 равно работе внешних сил по перемещению этой массы жидкости:

Согласно условию неразрывности V 1=V 2=V. Разделим обе части на V, учитывая что, . Так как сечения выбраны произвольно, то

При стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, гидростатического и динамического давлений, остается величиной постоянной в любом поперечном сечении потока. n статическое n гидростатическое n динамическое n

Следствия из уравнения Бернулли.

n Так как S 1 = S 2, то из условия неразрывности, следует, что v 1=v 2, т. е. динамические давления равны: n И уравнение Бернулли примет вид:

Правило Бернулли: n статическое давление невязкой жидкости при течении по горизонтальной трубке возрастает там, где скорость её уменьшается, и наоборот.

Водоструйный насос

3. Трубки Пито (измерение давления и скорости жидкости). .

4. Уравнение Ньютона. n n При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Более быстрые слои ускоряют более медленные и, наоборот, медленные тормозят быстрые.

n Градиент скорости dv/dx показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении x, перпендикулярном направлению движения слоев. Уравнение Ньютона

Вязкость n Коэффициент пропорциональности h в уравнении Ньютона называется коэффициентом внутреннего трения, динамической вязкостью или просто вязкостью. n Вязкость зависит от состояния и молекулярных свойств жидкости (газа). n Единица - паскаль-секунда [1 Па·с]. n Если h постоянна, то жидкость называется ньютоновской. n Если h зависит от градиента скорости и других условий течения жидкости, то неньютоновской.

Вязкость зависит от температуры .

5. Уравнение Пуазейля. Найдем зависимость скорости течения жидкости от расстояния до центра трубы.

Найдем объемную скорость течения

- объёмная скорость Уравнение Пуазейля

Гидравлическое сопротивление Аналогия наблюдается и при вычислении общего сопротивления нескольких участков

Для труб переменного сечения общее уравнение Пуазейля имеет вид: Градиент давления выше в трубках меньшего радиуса.

6. Измерение вязкости. Совокупность методов измерения вязкости называется вискозиметрией, устройства для измерения вязкости – вискозиметрами. Основные способы измерения вязкости: n Капиллярный - из формулы Пуазейля следует, что при прочих неизменных параметрах вязкость будет пропорциональна времени протекания определенного объема жидкости по тонкой трубке (капилляру) n

n n n движение небольших тел в вязкой жидкости (основан на законе Стокса) Ротационные – жидкость находится в зазоре между двумя соосными телами, одно из которых вращается. (Можно измерять зависимость вязкости от градиента скорости, т. е. вязкость неньютоновских жидкостей. ) Колебательные – затухание колебаний зависит от вязкости жидкости, в которую помещают колебательный элемент. И другие способы с хорошей зависимостью параметров от вязкости жидкости.

7. Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса. n n Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними. Течение называется турбулентным (вихревым), если частицы жидкости переходят из слоя в слой. Это сопровождается интенсивным перемешиванием жидкости и вихреобразованием.

При турбулентном течении распределение скоростей по сечению трубы в центре практически не изменяется в отличие от ламинарного течения.

Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости её течения, размеров трубы и определяется числом Рейнольдса: где n - кинематическая вязкость, n rж- плотность жидкости, n u - средняя по сечению трубы скорость жидкости; n D - диаметр трубы.

n При превышении значения числа Рейнольдса некоторого критического значения, движение жидкости можно считать турбулентным. n Для гладких труб

Поверхностное натяжение fn - сила молекулярного давления. Суммарное действие сил fk называют поверхностным натяжением.

n Силы поверхностного натяжения в каждой точке контура направлены касательно к поверхности жидкости и перпендикулярно линии контура так, что стремятся сократить свободную поверхность жидкости: Молекулы поверхностного слоя жидкости имеют дополнительную внутреннюю энергию, называемую поверхностной энергией: где А – работа, затраченная на создание поверхности жидкости площадью S. n

F d. S Дж/м 2 P

Смачивание. n Смачиванием называется явление искривления свободной поверхности жидкости при соприкосновении жидкости с поверхностью твердого тела. Смачивание Несмачивание

Смачивание. n Смачиванием называется явление искривления свободной поверхности жидкости при соприкосновении жидкости с поверхностью твердого тела. Смачивание Несмачивание h

n n n Смачивание или не смачивание зависит от сил притяжения между молекулами в жидкости и молекулами жидкого и твердого тела. Дополнительное давление в искривленной свободной поверхности жидкости: (формула Лапласа), где r – радиус кривизны. Обусловлено стремлением силы поверхностного натяжения сократить искривленную поверхность жидкости. Дополнительное давление обуславливает поднятие или опускание жидкости в капилляре (узкой трубке).

n Пузырек газа в жидкости тормозит её движение.

Газовая эмболия при бифуркации сосудистого русла. R 2 R 1 R 3 R 1 >> R 3 > R 2 P 2 > P 3 >> P 1