Куренков Александр Михайлович 1 2 3 ПРОГРАММА

Куренков Александр Михайлович

1. 2. 3. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Учебник. В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М. , Высшая школа. Издание стереотипное. Учебник. А. М. Куренков. Статистика. М. , Перспектива, 2012 (Глава 7. Теоретические закономерности распределения)

1. Учебник. В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М. , Высшая школа. Издание стереотипное. 2. Стр. 30 -31. Задачи 2 -8, 10, 11, 14. 3. Стр. 36 -37. Задачи 1 -4, 6. 4. Стр. 47 -48. Задачи 1 -7, 11, 13. 5. Стр. 53 -54. Задачи 1 -7, 10, 12. 6. Стр. 62. Задачи 1 -5, 8, 9. 7. Стр. 74 -75. Задачи 1 -3. стр. 84 -85, задачи: 1 -3, 5 -7; стр. 100, задачи: 1 -4, 6, 10;

1. 2. 3. 4. 5. 6. Предмет теории вероятностей. Вероятность и статистика Основные категории теории вероятностей Классическое определение вероятности Основные формулы комбинаторики Статистическое определение вероятностей Геометрическое определение вероятностей

XV-XVII вв. - первые попытки решения задач теории вероятностей (Кардано, Пачиали, Тарталья- Италия); Зарождение современной теории вероятностей - результаты работ Г. Галилея (1564 -1642), Б. Паскаля (1623 -1662), П. де Ферма 1601 -1665); 1657 г. Хр. Гюйгенс (1629 -1695) - первая книга по теории вероятностей «О расчетах в азартных играх; В 1713 г. - посмертное издание великого математика Якоба Бернулли (1654 - 1705) «Искусство предположений» - первый учебник по теории вероятностей.

разработки А. де Муавра (1667 -1754), П. С. Лапласа (1749 -1827), Х. Гюйгенс (1629 – 1695), И. К. Ф. Гаусс (1777 -1855); ХIX век - формирование теории вероятностей как самостоятельной математической науки, в том числе благодаря трудам выдающегося русского ученого П. Л. Чебышева (1821 - 1894) и его учеников А. А. Маркова (1856 -1922) и А. М. Ляпунова (1857 -1918).

Теория вероятностей - это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений, т. е. статистических закономерностей. Статистика, в отличие от теории вероятностей и математической статистики, увязывает методологию и результаты анализа со спецификой более узкой предметной области социально-экономическими явлениями.

Теория вероятностей и математическая статистика Выборочный метод Статистика

КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ ОБНАРУЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ТЕСНОТЫ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕКИХ ГИПОТЕЗ

СОБЫТИЕ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Главная задача науки на современном этапе - изучение, осмысление и все более широкое распространение методов теории вероятностей на практике.

Событие произвольное подмножество некоторого множества всех возможных исходов.

СОБЫТИЯ ДОСТОВЕРНЫЕ НЕВОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ

ЕДИНСТВЕННО ВОЗМОЖНЫЕ РАВНОВОЗМОЖНЫЕ НЕСОВМЕСТНЫЕ

Если множество возможных исходов - конечное число, то вероятностью события Е считается отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию к общему числу единственно возможных, равновозможных исходов.

1. Вероятность достоверного события равна единице. 2. Вероятность невозможного события равна нулю. 3. Вероятность случайного события находится в пределах от нуля до единицы

Перестановки Размещения Сочетания Взаимосвязь формул

Цена килограмма яблок, руб. Объем продаж, кг Доля продаж, 15, 00 650 0, 070 16, 00 820 0, 088 18, 00 1300 0, 140 20, 00 2500 0, 270 22, 00 1800 0, 194 23, 00 1000 0, 108 25, 00 1200 0, 129 Итого 9270 1, 00

В условиях массового распределение частот или превращается в наблюдения частостей распределение вероятностей случайной переменной.

Геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в заданную область (отрезок прямой, часть плоскости или пространства).

1. Теорема сложения вероятностей 2. Теорема умножения вероятностей 3. Следствия теорем сложения и умножения вероятностей 4. Вероятность гипотез. Формула Байеса

Суммой или объединением двух несовместных событий E 1 и E 2 называют событие E = E 1 E 2 (E = E 1 + E 2), состоящее в появлении события E 1 или E 2 или обоих этих событий.

n. E 1 n. E 2

Общий случай где: k = 1, 2, . k. . . , m-1, m

По результатам наблюдения за реализацией мужских костюмов на протяжении года получены следующие данные о вероятностях продажи костюмов разного размера. Размер костюма 48 50 52 54 56 Вероятность продажи P(48)=0, 16 P(50)= 0, 22 P(52)= 0, 20 P(54)= P(56) = 0, 19 0, 07 58 60 P(58) = 0, 05 P(60) = 0, 02 Вероятность продажи мужского костюма не ниже 52 размера. P( 52) = P(52+54+56+58+60) = P(52) + P(54) + P(56) + P(58) + P(60) = 0, 20 + 0, 19 + 0, 07 +0, 05 + 0, 02 = 0, 53

Совокупность единственно возможных событий испытания называется полной группой или полной системой. Сумма вероятностей событий, образующих полную систему равна единице. P(E 1+ E 2 + E 3+. . . +Ek +. . +Em-1 + Em) = P(E 1) + P(E 2) + P(E 3) +. . . + P(Ek) +. . . +P(Em-1) + P(Em) = 1.

Из каждых десяти посетителей магазина «Продукты» шесть не делают покупок, трое - делают покупки на сумму до 250 рублей, а один - свыше 250 рублей. Какова вероятность хотя бы одного из этих событий? Вероятности: не стать покупателем - P(E 1) = 6 : 10 = 0, 6 сделать покупку на сумму до 250 рублей: P(E 2) = 3 : 10 = 0, 3 сделать покупку на сумму свыше 250 рублей: P(E 3) = 1 : 10 = 0, 1 События, описанные в примере, несовместны, поэтому вероятность появления хотя бы одного из них определяется в соответствии с теоремой сложения вероятностей. P(E 1 + E 2 + E 3) = P(E 1) + P(E 2) + P(E 3) = 0, 6 + 0, 3 + 0, 1 =1

Два единственно возможных события образующих полную группу называются противоположными. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. P(E) + P (E) = 1 Отсюда вероятность события Е, противоположного событию E, равна разнице между единицей и вероятностью события E. P(E) = 1 - P (E)

Предположим, вероятность роста курса акции на фондовом рынке составляет 0, 46. Какова вероятность того, что этого не произойдет? В соответствии с формулой имеем: P (E) = 1 - 0, 46 = 0, 54

Если случайное событие E имеет весьма малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не произойдет. Предположим, P(E) 0, тогда это событие, по степени реальности его появления, близко к невозможному. Напротив, вероятность противоположного события P( Е) = [1 - P(E)] 1, т. е. противоположный исход испытания становится фактически достоверным. На практике весьма малой считается вероятность P(E) 0, 1.

Два события считаются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого. Независимые события имеют место при повторном отборе, когда отобранная в первом испытании единица после регистрации его исхода, возвращается в генеральную совокупность. Такой способ отбора называют схемой возвращаемого в урну шара.

Вероятность совместного появления двух независимых событий и равна произведению их вероятностей.

. Если: , , - числа исходов, благоприятствующих, соответственно, событиям и ; и - числа всех возможных исходов, благоприятствующих и , неблагоприятствующих, соответственно, событиям и, , то поскольку события независимы, их совместное появление, может быть результатом комбинации любого из исходов, благоприятствующих и неблагоприятствующих , с любым из исходов, благоприятствующих и неблагоприятствующих. Таким образом, общее число исходов, благоприятствующих совместному появлению и равно. . Число всех возможных исходов наступления событий , , равно. Таким образом, вероятность события составит: =

Вероятность выигрыша по лотерейному билету составляет 0, 05. Какова вероятность выигрыша по каждому из двух приобретенных лотерейных билетов?

Несколько событий называются совместно независимыми или независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных, содержащая либо все остальные события, либо часть из них есть события независимые. Попарная независимость событий не означает их независимость в совокупности, однако, независимость событий в совокупности обусловливает их попарную независимость.

Вероятность совместного появления нескольких событий E 1, E 2. . . En, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий. P(E 1 E 2 E 3. . . En) = P(E 1) x P(E 2)x P(E 3). . . x P(En).

В процессе контроля качества товара из четырех партий отобрано по одному образцу. Известно, что вероятности отбора стандартной продукции из каждой партии составляют, соответственно: P(E 1) = 0, 97, P(E 2)= 0, 95, P(E 3) =0, 98 и P(E 4) =0, 99 Какова вероятность того, что все отобранные детали будут стандартными? P(E 1 E 2 E 3 E 4)=P(E 1) x P(E 2)x P (E 3)x P(E 4) =0, 97 x 0, 95 x 0, 98 x 0, 99 = 0, 89

Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий E 1, E 2, E 3. . . En, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий E 1, E 2, E 3 , . . . En P(E) = 1 - P( E 1) x P( E 2) x P( E 3) x. . . x P( En)

Если обозначить вероятности противоположных событий E 1, E 2, E 3 , . . . En, соответственно, как q 1, q 2, q 3, . . . qn, то формула принимает вид. P(E) = 1 - q 1 x q 2 x q 3 x. . . x qn Если события Е 1, Е 2, . . . Еn равновероятны, то вероятность появления хотя бы одного из них составит: P(E) = 1 - qn

Вероятность приобретения посетительницей магазина платья составляет 0, 09, плаща - 0, 03, а демисезонного пальто -0, 02. Определите вероятность покупки посетительницей магазина хотя бы одной из указанных вещей. Вероятности противоположных событий ( не совершения покупки платья, плаща или пальто) составят, соответственно: q 1 = 1 - 0, 09 = 0, 91, q 2 = 1 - 0, 03 = 0, 97, q 3 = 1 0, 02 = 0, 98. Тогда вероятность приобретения хотя бы одной вещи из перечисленных - P(E) - равна: P (E) = 1 - q 1 x q 2 x q 3 = 1 - 0, 91 х 0, 97 х 0, 98 = 0, 135

Два события считаются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. Подобные события имеют место при бесповторном отборе (по схеме невозвращаемого шара), когда отобранная единица обратно в генеральную совокупность уже не возвращается. Применение этой схемы приводит к изменению условий выбора после каждой отобранной единицы.

В теории вероятностей характеристикой связи зависимых событий является условная вероятность. Условной вероятностью P(Е/Е 1) называют вероятность события Е, исчисленную в предположении, что событие Е 1 уже наступило. где: N(ЕЕ 1), N(Е 1) - число элементарных исходов, благоприятствующих, соответственно, совместному появлению событий Е и Е 1, событию Е 1.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Вероятность брака при поставке женской одежды 0, 015. Определите вероятность того, что проверенные наугад два платья, из партии в 200 изделий, окажутся стандартными. Если вероятность брака 0, 015, то противоположная вероятность отбора стандартного платья равна 1 -0, 015 = 0, 985. Среди 200 поступивших платьев 197, по всей видимости, стандартны (200 x 0, 985 = 197). Отбор стандартного платья в первом испытании изменяет условия отбора. Условная вероятность появления второго качественного платья составит: Р(Е/Е 1) = 196/199 = 0, 9849. Р(Е/Е 1) = P(Е) x P(Е 1/Е) = 0, 985 x 0, 9849 = 0, 97

Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий Е 1, Е 2, Е 3. . . Еn равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже произошли. Р(Е 1 Е 2 Е 3. . . Еn) = P(Е 1) x P(Е 2/Е 1) x P(Е 3/Е 1, Е 2). . . x P(Еn/Е 1, Е 2, Е 3. . . Еn-1)

E 1 E 2 площадь прямоугольника пространство элементарных исходов, площади кругов подмножества исходов, благоприятствующих появлению событий E 1 и E 2. Заштрихованная площадь - пересечение подмножеств E 1 E 2 обозначает число исходов, благоприятствующих совместному появлению событий E 1 и E 2.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. - независимые события P(E) = P(E 1) + P(E 2) - P(E 1)х P(E 2) - зависимые события P(E) = P(E 1) + P(E 2) - P(E 1)х P(E 2/E 1)

Два продавца, независимо друг от друга обслуживают покупателей в отделе верхней одежды магазина, вероятность того, что первый из продавцов сумеет продать товар - 0, 3, а второй - 0, 2. Какова вероятность продажи товара хотя бы одним из продавцов? P(E) = P(E 1) + P(E 2) - P(E 1)х P(E 2) = 0, 3 + 0, 2 - 0, 3 х 0, 2 = 0, 44

Вероятность покупки мужского костюма посетителем магазина составляет 0, 02, галстука 0, 1, а вероятность покупки галстука под приобретенный костюм составляет 0, 3. Какова вероятность приобретения покупателем хотя бы одной из вещей? P(E) = P(E 1) + P(E 2) - P(E 1)х P(E 2/E 1) = 0, 02 + 0, 1 - 0, 02 х 0, 3 = 0, 114

Вероятность события Е, которое может произойти только при появлении одного из событий Е 1, Е 2, Е 3. . . Еn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события Е. Р(Е) = P(Е 1) x P(Е/Е 1) + P(Е 2) x P(Е/Е 2) +. . . + P (Еn) x P(Е/Еn) =

На плодоовощную базу поступило четыре партии картофеля. В первой партии доля стандартных клубней составляет 95%, во второй - 97%, в третьей 94, а в четвертой -91%. При этом на долю первой партии приходилось 28% поставки, второй -31%, третьей - 24% и четвертой -17%. Определите вероятность того, что магазину, заказавшему товар достанется стандартный картофель.

№№ партий 1 2 3 4 Вероятности отбора стандартного картофеля P(Е/Е 1) = 0, 95 P(Е/Е 2) = 0, 97 P(Е/Е 3) = 0, 94 P(Е/Е 4) = 0, 91 Вероятность отбора картофеля из данной партии P(Е 1) = 0, 28 P(Е 2) = 0, 31 P(Е 3) = 0, 24 P(Е 4) = 0, 17 Вероятность поставки стандартной продукции магазин определяется по формуле полной вероятности составит: Р(Е) = P(Е 1) x P(Е/Е 1) + P(Е 2) x P(Е/Е 2) + P(Е 3) P(Е/Е 3) + (Е 4) x P(Е/Е 4) = 0, 28 х 0, 95 + 0, 31 х 0, 97 0, 24 х 0, 94 + 0, 17 х 0, 91= 0, 95 в и x +

Предположим, что событие Е происходит только при появлении одного из несовместных событий Е 1, Е 2, Е 3. . . Еn, образующих полную группу. Допустим в результате испытания событие Е произошло, т. е достоверным стало одно из событий: ЕЕ 1, ЕЕ 2, . . . ЕЕi, … ЕЕn. Каждое из этих событий рассматривается как гипотетическое и вероятность его появления оценивается по формуле:

Предположим, магазину, заказавшему товар, достался стандартный картофель. Какова вероятность его поступления из четвертой партии? Вероятность гипотезы будет равна: Достоинством формулы Байеса является возможность ее применения при отсутствии сведений о числе элементарных исходов. Вполне достаточно располагать вероятностями или эмпирическими частостями событий.