Скачать презентацию КРУЧЕНИЕ Чистый сдвиг и его особенности В качестве Скачать презентацию КРУЧЕНИЕ Чистый сдвиг и его особенности В качестве

tema_11.ppt

  • Количество слайдов: 37

КРУЧЕНИЕ Чистый сдвиг и его особенности В качестве примера, иллюстрирующего состояние однородного чистого сдвига, КРУЧЕНИЕ Чистый сдвиг и его особенности В качестве примера, иллюстрирующего состояние однородного чистого сдвига, можно рассмотреть тонкостенную цилиндрическую трубку, нагруженную моментами, приложенными в торцевых плоскостях. Внешний момент в отличие от внутреннего обозначается через m.

КРУЧЕНИЕ КРУЧЕНИЕ

КРУЧЕНИЕ Величина напряжения τ определяется из условий равенства момента равномерно распределенных по поперечному сечению КРУЧЕНИЕ Величина напряжения τ определяется из условий равенства момента равномерно распределенных по поперечному сечению внутренних сил моменту M: τ = m/(2 π R 2 δ) где R — радиус трубки, а δ — ее толщина.

КРУЧЕНИЕ КРУЧЕНИЕ

КРУЧЕНИЕ КРУЧЕНИЕ

КРУЧЕНИЕ На грани АС в зависимости от угла α возможно возникновение как нормального, так КРУЧЕНИЕ На грани АС в зависимости от угла α возможно возникновение как нормального, так и касательного напряжений. Обозначим их соответственно через σα, τα. Для их определения проецируем все силы, действующие на призму, на оси n и t.

КРУЧЕНИЕ Условия равновесия дают следующие уравнения: σα АС=τ АВ sin α + τ ВС КРУЧЕНИЕ Условия равновесия дают следующие уравнения: σα АС=τ АВ sin α + τ ВС cos α ; ταАС= τ АВ cos α — τ BC sin α. Очевидно отрезки АВ и ВС связаны с АС соотношениями АВ=АС cos α , BC=AC sin α.

КРУЧЕНИЕ Следовательно σα = τ sin 2 α , τα = τ cos 2 КРУЧЕНИЕ Следовательно σα = τ sin 2 α , τα = τ cos 2 α. При α =0 и α =90° напряжения σα и τα принимают значения, соответствующие исходным площадкам, т. е. σα =0, τα = τ. При α =± 45°- τα =0, а σα =+-τ.

КРУЧЕНИЕ Следовательно, если из пластины выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей КРУЧЕНИЕ Следовательно, если из пластины выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол 45°, то на секущих площадках будут обнаружены только нормальные напряжения, причем на одной паре граней эти напряжения растягивающие, а на другой — сжимающие.

КРУЧЕНИЕ КРУЧЕНИЕ

КРУЧЕНИЕ Определим возникающие деформации. Касательное напряжение τ связано с угловой деформацией γ соотношением: τ=γG КРУЧЕНИЕ Определим возникающие деформации. Касательное напряжение τ связано с угловой деформацией γ соотношением: τ=γG где через G , как мы уже знаем, обозначена величина: G = Е /(2 (1+μ))

КРУЧЕНИЕ В результате возникающих угловых деформаций торцевые сечения трубки получают взаимные угловые смещения φ, КРУЧЕНИЕ В результате возникающих угловых деформаций торцевые сечения трубки получают взаимные угловые смещения φ, причем - φ= γ L / R При чистом сдвиге, как и при растяжении (да и вообще при всяком напряженном состоянии), в деформируемом теле накапливается упругая потенциальная энергия.

КРУЧЕНИЕ КРУЧЕНИЕ

КРУЧЕНИЕ Определим данную энергию, рассматривая изменение формы прямоугольного элемента с размерами dx, dy и КРУЧЕНИЕ Определим данную энергию, рассматривая изменение формы прямоугольного элемента с размерами dx, dy и толщиной δ. Энергия накопленная в элементе, равна d. U = τ γ dx dy δ /2. Если отнести энергию к единице объема, получим U 0 = d. U /d. V = τ γ /2

КРУЧЕНИЕ Выразим γ через τ по закону Гука, очевидно: U 0 = τ2/(2 G) КРУЧЕНИЕ Выразим γ через τ по закону Гука, очевидно: U 0 = τ2/(2 G) Величина Uo называется удельной потенциальной энергией при сдвиге и измеряется в Дж/м 3.

КРУЧЕНИЕ Аналогично испытанию на растяжение и сжатие можно провести испытание материала в условиях чистого КРУЧЕНИЕ Аналогично испытанию на растяжение и сжатие можно провести испытание материала в условиях чистого сдвига и может быть получена диаграмма сдвига для материала τ =f(γ). Раньше, когда изучение механики находилось еще в начальной стадии, так обычно и поступали. В дальнейшем, было установлено, что характеристики сдвига связаны с характеристиками растяжения.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором Кручение стержня с круглым поперечным сечением Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент Мк. Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и поперечные силы) равны нулю.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Правило знаков для Мк формулируется так - если Кручение стержня с круглым поперечным сечением Правило знаков для Мк формулируется так - если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Мк направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Указанным правилом знаков руководствуются при построении эпюр крутящих Кручение стержня с круглым поперечным сечением Указанным правилом знаков руководствуются при построении эпюр крутящих моментов. Для этих моментов применено условное обозначение в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестиком— силу, направленную от наблюдателя.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением При расчете стержня на кручение надо решить две Кручение стержня с круглым поперечным сечением При расчете стержня на кручение надо решить две основные задачи. Требуется определить напряжения и найти угловые перемещения в зависимости от внешних моментов. Эти задачи решаются по-разному в зависимости от поперечного сечения стержня. Наиболее простое решение можно получить в случае круглого сечения

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно Кручение стержня с круглым поперечным сечением Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно представить себе в следующем виде: будем считать, что каждое поперечное сечение в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Этот угол поворота для различных сечений будет различным изложенное представляет собой гипотезу плоских сечений

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное Кручение стержня с круглым поперечным сечением Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное сечение бруса действительно остается плоским и поворачивается как жесткое целое. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент Кручение стержня с круглым поперечным сечением В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент Мк = m Двумя поперечными сечениями выделим из стержня элемент длиной dz, а из него в свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами ρ + dρ выделим элементарное кольцо

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Кручение стержня с круглым поперечным сечением

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кручении относительно Кручение стержня с круглым поперечным сечением Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кручении относительно левого на угол dφ. Образующая цилиндра АВ поворачивается при этом на угол γ и занимает положение АВ'. Отрезок ВВ' равен, с одной стороны, ρ dφ , а с другой — γ dz. Следовательно, γ = ρ dφ / dz

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Угол γ представляет собой не что иное, как Кручение стержня с круглым поперечным сечением Угол γ представляет собой не что иное, как угол сдвига цилиндрической поверхности. Величина, dφ / dz обозначается обычно через θ, θ = dφ / dz и называется относительным углом закручивания. Это — угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Величина θ аналогична относительному удлинению при растяжении ΔL/ Кручение стержня с круглым поперечным сечением Величина θ аналогична относительному удлинению при растяжении ΔL/ L. Вводя обозначение θ, получим γ=ρθ По закону Гука для сдвига τ=G θρ где τ — касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях — в осевых сечениях

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Кручение стержня с круглым поперечным сечением

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Элементарные силы τ d. F приводятся к крутящему Кручение стержня с круглым поперечным сечением Элементарные силы τ d. F приводятся к крутящему моменту Мк = ∫F τ ρ d. F. Интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения F. Подставляя в подынтегральную функцию напряжение τ получим Мк = G θ ∫F ρ2 d. F

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Интеграл ∫F ρ2 d. F представляет собой чисто Кручение стержня с круглым поперечным сечением Интеграл ∫F ρ2 d. F представляет собой чисто геометрическую характеристику, измеряется в см 4 и носит название полярного момента инерции сечения: Jρ = ∫F ρ2 d. F Таким образом, получаем MK=G Jρ θ , или θ = MK/ G Jρ Произведение G Jρ называют жесткостью стержня при кручении.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Через относительный угол закручивания θ легко определяется и Кручение стержня с круглым поперечным сечением Через относительный угол закручивания θ легко определяется и величина взаимного угла поворота сечений φ. Согласно изложенному dφ = MK dz / G Jρ откуда φ = 0∫L MK dz / G Jρ где L — расстояние между сечениями, для которых определяется взаимный угол поворота φ.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Если крутящий момент по длине стержня не изменяется, Кручение стержня с круглым поперечным сечением Если крутящий момент по длине стержня не изменяется, Мк = m , и если жесткость остается постоянной, то очевидно φ = m L / G Jρ

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Проанализируем изменение τ, для чего заменим θ (θ Кручение стержня с круглым поперечным сечением Проанализируем изменение τ, для чего заменим θ (θ = MK/ G Jρ ) получим τ = MK ρ / Jρ Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от оси

Кручение стержня с круглым поперечным сечением При этом τmax = MK ρmax / Jρ Кручение стержня с круглым поперечным сечением При этом τmax = MK ρmax / Jρ Величина Jρ / ρmax =Wρ называется полярным моментом сопротивления и измеряется в см 3. Окончательно имеем τmax = MK / Wρ

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Формулы φ = m L / G Jρ Кручение стержня с круглым поперечным сечением Формулы φ = m L / G Jρ и τmax = MK / Wρ являются основными расчетными формулами для кручения стержня с круговым поперечным сечением. Они справедливы как для сплошного, так и для полого кругового сечения.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Определим теперь величины геометрических характеристик сечения Jρ и Кручение стержня с круглым поперечным сечением Определим теперь величины геометрических характеристик сечения Jρ и Wρ. Для этого подставим в выражение Jρ = ∫F ρ2 d. F вместо d. F площадь пояска 2 π ρ dρ. Если стержень имеет сплошное круговое сечение, то Jρ =2 π0∫D/2ρ3 dρ где D — диаметр сечения, соответственно Jρ =πD 4 /32

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Если же в стержне имеется внутренняя центральная полость Кручение стержня с круглым поперечным сечением Если же в стержне имеется внутренняя центральная полость диаметра d то Jρ =2 πd/2∫D/2ρ3 dρ или Jρ =πD 4 (1 - d 4/D 4) /32 Соответственно полученным выражениям полярный момент сoпротивления Wp для сплошного сечения равен Wρ =πD 3 /16 ≈0, 2 D 3