КРУЧЕНИЕ Чистый сдвиг и его особенности В качестве

КРУЧЕНИЕ Чистый сдвиг и его особенности В качестве примера, иллюстрирующего состояние однородного чистого сдвига, можно рассмотреть тонкостенную цилиндрическую трубку, нагруженную моментами, приложенными в торцевых плоскостях. Внешний момент в отличие от внутреннего обозначается через m.

КРУЧЕНИЕ

КРУЧЕНИЕ Величина напряжения τ определяется из условий равенства момента равномерно распределенных по поперечному сечению внутренних сил моменту M: τ = m/(2 π R 2 δ) где R — радиус трубки, а δ — ее толщина.

КРУЧЕНИЕ

КРУЧЕНИЕ На грани АС в зависимости от угла α возможно возникновение как нормального, так и касательного напряжений. Обозначим их соответственно через σα, τα. Для их определения проецируем все силы, действующие на призму, на оси n и t.

КРУЧЕНИЕ Условия равновесия дают следующие уравнения: σα АС=τ АВ sin α + τ ВС cos α ; ταАС= τ АВ cos α — τ BC sin α. Очевидно отрезки АВ и ВС связаны с АС соотношениями АВ=АС cos α , BC=AC sin α.

КРУЧЕНИЕ Следовательно σα = τ sin 2 α , τα = τ cos 2 α. При α =0 и α =90° напряжения σα и τα принимают значения, соответствующие исходным площадкам, т. е. σα =0, τα = τ. При α =± 45°- τα =0, а σα =+-τ.

КРУЧЕНИЕ Следовательно, если из пластины выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол 45°, то на секущих площадках будут обнаружены только нормальные напряжения, причем на одной паре граней эти напряжения растягивающие, а на другой — сжимающие.

КРУЧЕНИЕ

КРУЧЕНИЕ Определим возникающие деформации. Касательное напряжение τ связано с угловой деформацией γ соотношением: τ=γG где через G , как мы уже знаем, обозначена величина: G = Е /(2 (1+μ))

КРУЧЕНИЕ В результате возникающих угловых деформаций торцевые сечения трубки получают взаимные угловые смещения φ, причем - φ= γ L / R При чистом сдвиге, как и при растяжении (да и вообще при всяком напряженном состоянии), в деформируемом теле накапливается упругая потенциальная энергия.

КРУЧЕНИЕ

КРУЧЕНИЕ Определим данную энергию, рассматривая изменение формы прямоугольного элемента с размерами dx, dy и толщиной δ. Энергия накопленная в элементе, равна d. U = τ γ dx dy δ /2. Если отнести энергию к единице объема, получим U 0 = d. U /d. V = τ γ /2

КРУЧЕНИЕ Выразим γ через τ по закону Гука, очевидно: U 0 = τ2/(2 G) Величина Uo называется удельной потенциальной энергией при сдвиге и измеряется в Дж/м 3.

КРУЧЕНИЕ Аналогично испытанию на растяжение и сжатие можно провести испытание материала в условиях чистого сдвига и может быть получена диаграмма сдвига для материала τ =f(γ). Раньше, когда изучение механики находилось еще в начальной стадии, так обычно и поступали. В дальнейшем, было установлено, что характеристики сдвига связаны с характеристиками растяжения.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент Мк. Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и поперечные силы) равны нулю.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Правило знаков для Мк формулируется так - если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Мк направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Указанным правилом знаков руководствуются при построении эпюр крутящих моментов. Для этих моментов применено условное обозначение в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестиком— силу, направленную от наблюдателя.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением При расчете стержня на кручение надо решить две основные задачи. Требуется определить напряжения и найти угловые перемещения в зависимости от внешних моментов. Эти задачи решаются по-разному в зависимости от поперечного сечения стержня. Наиболее простое решение можно получить в случае круглого сечения

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно представить себе в следующем виде: будем считать, что каждое поперечное сечение в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Этот угол поворота для различных сечений будет различным изложенное представляет собой гипотезу плоских сечений

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное сечение бруса действительно остается плоским и поворачивается как жесткое целое. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент Мк = m Двумя поперечными сечениями выделим из стержня элемент длиной dz, а из него в свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами ρ + dρ выделим элементарное кольцо

Кручение стержня с круглым поперечным сечением

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кручении относительно левого на угол dφ. Образующая цилиндра АВ поворачивается при этом на угол γ и занимает положение АВ'. Отрезок ВВ' равен, с одной стороны, ρ dφ , а с другой — γ dz. Следовательно, γ = ρ dφ / dz

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Угол γ представляет собой не что иное, как угол сдвига цилиндрической поверхности. Величина, dφ / dz обозначается обычно через θ, θ = dφ / dz и называется относительным углом закручивания. Это — угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Величина θ аналогична относительному удлинению при растяжении ΔL/ L. Вводя обозначение θ, получим γ=ρθ По закону Гука для сдвига τ=G θρ где τ — касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях — в осевых сечениях

Кручение стержня с круглым поперечным сечением

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Элементарные силы τ d. F приводятся к крутящему моменту Мк = ∫F τ ρ d. F. Интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения F. Подставляя в подынтегральную функцию напряжение τ получим Мк = G θ ∫F ρ2 d. F

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Интеграл ∫F ρ2 d. F представляет собой чисто геометрическую характеристику, измеряется в см 4 и носит название полярного момента инерции сечения: Jρ = ∫F ρ2 d. F Таким образом, получаем MK=G Jρ θ , или θ = MK/ G Jρ Произведение G Jρ называют жесткостью стержня при кручении.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Через относительный угол закручивания θ легко определяется и величина взаимного угла поворота сечений φ. Согласно изложенному dφ = MK dz / G Jρ откуда φ = 0∫L MK dz / G Jρ где L — расстояние между сечениями, для которых определяется взаимный угол поворота φ.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Если крутящий момент по длине стержня не изменяется, Мк = m , и если жесткость остается постоянной, то очевидно φ = m L / G Jρ

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Проанализируем изменение τ, для чего заменим θ (θ = MK/ G Jρ ) получим τ = MK ρ / Jρ Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от оси

Кручение стержня с круглым поперечным сечением При этом τmax = MK ρmax / Jρ Величина Jρ / ρmax =Wρ называется полярным моментом сопротивления и измеряется в см 3. Окончательно имеем τmax = MK / Wρ

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Формулы φ = m L / G Jρ и τmax = MK / Wρ являются основными расчетными формулами для кручения стержня с круговым поперечным сечением. Они справедливы как для сплошного, так и для полого кругового сечения.

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Определим теперь величины геометрических характеристик сечения Jρ и Wρ. Для этого подставим в выражение Jρ = ∫F ρ2 d. F вместо d. F площадь пояска 2 π ρ dρ. Если стержень имеет сплошное круговое сечение, то Jρ =2 π0∫D/2ρ3 dρ где D — диаметр сечения, соответственно Jρ =πD 4 /32

Кручение стержня с круглым поперечным сечением Если же в стержне имеется внутренняя центральная полость диаметра d то Jρ =2 πd/2∫D/2ρ3 dρ или Jρ =πD 4 (1 - d 4/D 4) /32 Соответственно полученным выражениям полярный момент сoпротивления Wp для сплошного сечения равен Wρ =πD 3 /16 ≈0, 2 D 3