КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Окружностью называется множество всех

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r имеет вид: x 2 + y 2 = r 2 (1) Уравнение окружности с центром в точке О 1(a; b) и радиусом r имеет вид: (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 (2) Уравнение окружности в общем виде записывается так: Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0, (3) где A, B, C, D – постоянные коэффициенты

Пример 1 Составить уравнение окружности с центром в точке А(5; - 7) и проходящей через точку В(2; - 3) Решение: Найдем радиус окружности как расстояние от центра до данной ее точки: теперь в уравнение (2) подставим координаты центра и найденную величину радиуса: (х – 5)2 + (у – (-7))2 = 52 (х – 5)2 + (у + 7)2 = 25

Пример 2 Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 1), В(-2; 6), С(-5; - 3) Решение: Пусть О 1(a; b) – центр искомой окружности, тогда О 1 А = О 1 В = О 1 С – радиусы одной и той же окружности Составим систему уравнений относительно неизвестных a и b и решим ее:

О 1(-2; 1) Находим Следовательно, искомое уравнение окружности имеет вид: (х + 2)2 + (у – 1)2 = 25

Пример 3 Найти координаты центра и радиус окружности х2 + у2 - 8 х – 10 у – 8 = 0 Решение: Перепишем данное уравнение в виде: х2 + у2 - 8 х – 10 у = 8 Дополним двучлены х2 – 8 х и у2 – 10 у до полных квадратов, получим: х2 – 2 · 4 х + 42 + у2 – 2 · 5 у + 52 = 8 + 42 + 52 (х – 4)2 + (у – 5)2 = 49 Откуда a = 4, b = 5, r = 7, т. е. центр окружности – точка (4; 5), а радиус равен 7.

Пример 4 Составить уравнение окружности с центром в точке (-1; 4) и проходящей через точку (3; 5) Решение: (х + 1)2 + (у – 4)2 = 17

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2 а) большая расстояния между фокусами 2 с Эллипс

Уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ох, имеет вид: где а – длина большой полуоси b – длина малой полуоси Зависимость между параметрами а, b и с выражается соотношением a 2 – b 2 = c 2 Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2 с к большой оси 2 а

Если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то его уравнение имеет вид

Пример 5 Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках А 1(-6; 0), А 2(6; 0), а фокусы в точках – F 1(-4; 0), F 2(4; 0) Решение: Из условия следует, что а = 6, с = 4. По формуле находим a 2 – b 2 = c 2 b 2 = a 2 – c 2 b 2 = 62 – 42 = 36 – 16 = 20 Подставив значения а 2 и b 2 в уравнение , получим

Пример 6 Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках В 1(-8; 0) и В 2(8; 0), а фокусы – в точках F 1(0; -6), F 2(0; 6) Решение: Из условия следует, что фокусы лежат на оси Оу; тогда b = 8, с = 6 По формуле a 2 – b 2 = c 2 находим a 2 = b 2 + c 2 a 2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 Подставив значения a 2 и b 2 в уравнение получим

Пример 7 Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6 (фокусы лежат на оси Ох) и большая ось равна 10 Решение: 2 а = 10 , тогда а = 10 : 2 = 5 2 с = 6, тогда с = 6 : 2 = 3 a 2 – b 2 = c 2 b 2 = a 2 – c 2 b 2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16

Пример 8 Дан эллипс Вычислить его эксцентриситет. Решение: а 2 = 100, b 2 = 51 с2 = a 2 – b 2 с2 = 100 – 51 = 49 с=

Пример 9 Составить уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках (-4; 0) и (4; 0), а эксцентриситет е = 0, 8 Решение: Из условия имеем: с = 4 a 2 – b 2 = c 2 b 2 = a 2 – c 2 b 2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9

Пример 10 Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если его большая ось равна 14, а эксцентриситет е = 2/3 Решение: Из условия имеем 2 а = 14, а = 14 : 2 = 7 a 2 – b 2 = c 2 b 2 = a 2 – c 2

Гипербола Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2 а), меньшая расстояния между фокусами (2 с)

Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, имеет вид а – длина действительной полуоси b – длина мнимой полуоси Зависимость между параметрами а, b и с выражается соотношением b 2 = c 2 – a 2 Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к ее действительной оси Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Если действительная и мнимая ось гиперболы равны (т. е. а = b), то гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы записывается в виде: х 2 – у2 = а 2 А уравнения ее асимптот:

Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то ее уравнение имеет вид: А уравнения асимптот такой гиперболы:

Гипербола

Пример 11 Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках А 1(-3; 0) и А 2(3; 0), фокусы – в точках F 1(-5; 0) и F 2(5; 0) Решение: Из условия следует, что а = 3, с = 5 По формуле b 2 = c 2 – a 2, находим b 2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16

Пример 12 Дано уравнение гиперболы Найти координаты ее вершин и фокусов. Решение: а 2 =81 b 2 = 144 а=± 9 b = ± 12 c 2 = a 2 + b 2 = 81 + 144 = 225 с = ± 15 (-9; 0), (9; 0) – вершины гиперболы (-15; 0), (15; 0) – фокусы гиперболы

Пример 13 Дано уравнение гиперболы ее эксцентриситет Решение: а 2 =25 b 2 = 11 Найти

Пример 14 Дано уравнение гиперболы Составить уравнение ее асимптот Решение: а 2 =144 b 2 = 256 а = ± 12 b = ± 16

Пример 15 Составить уравнение гиперболы, если известны координаты ее фокусов (-20; 0) и (20; 0) и эксцентриситет е = 5/3 Решение:

Пример 16 Найти эксцентриситет гиперболы: Решение:

Пример 17 Составить уравнение асимптоты гиперболы а 2 =64 а=8 Решение: b 2 = 36 b=6

Пример 18 Составить уравнение гиперболы, если известны координаты ее фокусов и эксцентриситет (± 2√ 2; 0), е=2 Решение:

Парабола с вершиной в начале координат Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вправо, имеет вид у2 = 2 рх, где p > 0 (параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены влево, имеет вид у2 = -2 рх (p > 0) Уравнение ее директрисы

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направлены вверх, имеет вид х2 = 2 ру (p > 0) Уравнение ее директрисы

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направлен вниз, имеет вид х2 = -2 ру (p > 0) Уравнение ее директрисы

Пример 22 Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке F (5; 0) Решение: у2 = 2 рх n

Пример 23 n Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х = - 2 Решение:

Пример 24 Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке F(3; 0) Решение: Фокус параболы лежит на положительной полуоси Ох, следовательно, уравнение параболы имеет вид: у2 = 2 рх Т. к. координаты фокуса (р/2; 0), то n Подставив значение р в уравнение, получим: у2 = 2 · 6 х = 12 х

Пример 25 Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х = - 4. Решение: Расстояние директрисы от начала координат равно р/2; следовательно, р/2 = 4, т. е. р = 8. Уравнение этой параболы имеет вид у2 = 2 рх, т. к. абсцисса директрисы отрицательна. Подставив в уравнение значение параметра р, получим у2 = 8 · 2 х = 16 х

Парабола со смещенной вершиной Уравнение параболы с вершиной в точке (а; b), с осью симметрии, параллельной оси Ох, и ветвями, направленными вправо, имеет вид (у – b)2 = 2 p(x – a)

Уравнение параболы с вершиной в точке (a; b), с осью симметрии, параллельной оси Ох, и ветвями, направленными влево, имеет вид (y – b)2 = - 2 p(x – a)

Уравнение параболы с вершиной в точке (a; b), с осью симметрии, параллельной оси Оу, и ветвями, направленными вверх, имеет вид (х – а)2 = 2 р(у – b)

Уравнение параболы с вершиной в точке (а; b), с осью симметрии, параллельной оси Оу, и ветвями, направленными вниз, имеет вид (х – а)2 = - 2 р(у – b)

В каждом из уравнений параметр параболы p > 0 – расстояние от фокуса параболы до ее директрисы