Кривые второго порядка Каноническое уравнение параболы Выполнили: Евгений Бесчетнов и Дмитрий Рябов Группа: ИС 11 -9
Определние Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F(называемой фокусом параболы) и от данной прямой L(называемой директрисой параболы).
Определние Для вывода канонического уравнения параболы проведем ось Ох прямоугольной системы координат через фокус F перпендикулярно директрисе, начало координат О поместим на равных расстояниях от фокуса и директрисы. Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через р (оно называется параметром параболы). В этом случае фокус будет иметь координаты F ( P2; 0), а уравнение директрисы будет х = - P2.
Возьмем произвольную точку М(х; у) параболы. Согласно определению параболы имеем: |MF| = |MA| (точка А имеет координаты (- P2; y)) или по формуле расстояния между двумя точками Отсюда:
Формула (9) и есть каноническое уравнение параболы. Парабола отвечающая этому уравнению изображена на рисунке ниже. Уравнение (9) имеет смысл только для неотрицательных значений х, т. е. все точки параболы лежат в I и IV квадрантах. Так как уравнение (9) содержит y^2, то парабола симметрична относительно оси Ох. Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии. При возрастании х значения у возрастают по абсолютной величине. В отличии от гиперболы парабола не имеет асимптот. Ось симметрии параболы называется осью параболы. Парабола определяемая уравнением (9), имеет ось, совпадающую с осью Ох.
Очевидно, что каждому из уравнений , соответствует парабола по форме тождественная с параболой (9) иначе расположенная. На рисунке выше изображены общие виды этих парабол при p > 0. К параболам, например, симметричным относительно оси Оу, относятся также кривые, заданные уравнениями:
Пример. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А(9; 3) и симметрична относительно оси Ох. Написать ее каноническое уравнение. Подставляя координаты точки А в уравнение у^2 = 2 рх (9), найдем что p = 12. Значит уравнение искомой параболы у^2 = x.
№ 1. Написать уравнения двух парабол с вершиной в начале координат, зная, что координаты из фокусов равны: а) F(3; 0); б) F(0; -5) Решение: Нам известны две точки: начало координат О (0; 0) и фокус F(3; 0). Имея их координаты можно найти длину между ними по формуле: ОF = |/(х2 - х1)^2 + (у2 - у1)^2 OF = 3 Теория гласит, что расстояние от фокуса до вершины равно половине параметра, поэтому мы имеем: p/2 = 3 Отсюда: p = 6 Подставляя значения p в каноническое уравнение параболы y^2 = 2 px получаем искомое уравнение: y^2 = 12 x [a) y^2 = 12 x; б) x^2 = -20 y. ]
№ 2. Определить координаты фокусов следующих парабол: а) y^2 = 16 x ; б) x^2 = -10 y Решение: а) Исходя из общего канонического уравнения параболы у^2 = 2 px можно посчитать параметр параболы – 16/2=8 => p = 8. Известно, что расстояние от фокуса до параболы равно половине параметра, поэтому – 8/2 = 4 => F = 4. Так как осью симметрии нашей параболы является ось Ох, то ордината будет равна 0, следовательно абсцисса 4. [a) F(4; 0) ; б) F(0; -5|/2. ]
№ 3. Написать уравнение директрисы и найти координаты фокуса параболы y^2 = 4 x Решение: Исходя из общего канонического уравнения параболы у^2 = 2 px можно посчитать параметр параболы – 4/2=2 => p = 2. Известно, что расстояние от фокуса до параболы равно половине параметра, поэтому – 2/2 = 1 => F = 1. Так как осью симметрии нашей параболы является ось Ох, то ордината будет равна 0, следовательно абсцисса 1. Директрису находим с помощью уравнения х = -р/2. -2/2 = -1 => x = -1 [x = -1, F(1; 0). ]
№ 4. Написать уравнение парабол с вершиной в начале координат, для которых директрисами служат прямые: а) х = -2 ; б) х = 3 Решение: а) Имея значения директрисы мы можем найти параметр с помощью уравнения: -2 = -р/2 Отсюда: р = 4 Узнав параметр, подставляем его значение в каноническое уравнение у^2 = 2 px Отсюда: у^2 = 8 х [a) y^2 = 8 x ; б) y^2 = -12 x. ]
№ 5. Проверить, а лежат ли точки А(2; -2) и В(1; 2) на параболе y^2 = 2 x Решение: Имея координаты точек А и В а также формулу параболы, мы можем проверить лежат ли эти точки на параболе поочередно подставляя координаты точек в формулу параболы. Отсюда: А(2; -2) -2^2 = 2*2 4 = 4 - равенство верно, точка А лежит на параболе у^2 = 2 x В(1; 2) 2^2 = 2*1 4 = 2 - равенство не верно, точка В не лежит на параболе у^2 = 2 x
Задачи для самостоятельного изучения 1. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3. 2. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6) 3. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у^2 = 24 x.
The end
Скачать презентацию Кривые второго порядка Каноническое уравнение параболы Выполнили Евгений
Парабола. Рябов. Бесчетнов.ppt