Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола) Выполнила студентка ПГС 1 -3 Агапкина Е. А.
1. ЭЛЛИПС Определение: • Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина точек постоянная (обозначим её через 2 а). • Расстояние между фокусами и обозначим через 2 c, тогда 2 а (0; b) 2 c y (-a; 0) (-C; 0) 0 c (0; -b) (C; 0) x
y ЭЛЛИПС (0; b) Каноническое уравнение: (-a; 0) (-C; 0) 0 c (C; 0) (0; -b) 1. a – большая полуось эллипса b – малая полуось 2. x
Метод построения эллипса b a
ОКРУЖНОСТЬ y (х; у) R 0 3. x Уравнение окружности y x Если a=b=R, то c=0, => фокусы совпадают => получим уравнение: 4. Окружность – частный случай эллипса.
y Параметрические уравнения окружности (X; Y) R Рассмотрим окружность: t 0 x где t – угол между OX и OM
y Параметрические уравнения эллипса (X; Y) b 0 Уравнение окружности: (х; у) t а x где t – угол между OX и OM Уравнение эллипса: Сделаем замену переменных Следовательно:
ГИПЕРБОЛА Определение: • Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть точек величина постоянная (обозначим ее через 2 a (a>0)). • Расстояние между фокусами и или (-a; 0) обозначим через 2 c, тогда 2 а y 0 (a; 0) x 2 c
ГИПЕРБОЛА y Каноническое уравнение: (-a; 0) x 0 (a; 0) 1. a – действительная полуось b – мнимая полуось 2. Вывод уравнения провести самостоятельно.
Асимптоты гиперболы y (-a; 0) В силу симметрии : 0 (a; 0) x
Асимптоты гиперболы Вывод уравнений: Рассмотрим только случай, когда 1. 2. :
Метод построения гиперболы b a
ГИПЕРБОЛА y Рассмотрим гиперболу: (х; у) (-a; 0) 0 (a; 0) Параметрические уравнения гиперболы: x
3. ПАРАБОЛА Определение: • Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой точки прямой директрисой • Расстояние от фокуса до директрисы y 0 x обозначим через .
ПАРАБОЛА y Каноническое уравнение: 0 x
ПАРАБОЛА y Каноническое уравнение: 0 x 1. Вершина в т. (0; 0); 2. Асимптот нет: пусть - асимптота, тогда: (противоречие)
Вывод канонического уравнения параболы: y 0 x 1. 2. 3.
ПАРАБОЛА y Параметрические уравнения параболы: Рассмотрим параболу: 0 x В качестве параметрических уравнений параболы можно рассматривать:
Эксцентриситет. Определение: Для эллипса и гиперболы эксцентриситетом называется число: • Для эллипса: • Для окружности: • Для гиперболы: • Для параболы: Эксцентриситет характеризует форму кривой линии.
Вывод канонического уравнения: y (0; b) (х; у) (-a; 0) (-C; 0) 0 c (C; 0) x (0; -b) 1. 2. 3. 4. 5.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Основное тождество:
Скачать презентацию Кривые второго порядка эллипс гипербола парабола Выполнила студентка
Кривые 2 порядка.ppt