Кривые и поверхности второго порядка Лекция 1

Кривые и поверхности второго порядка Лекция 1

Кривые 2 порядка К кривым 2 -го порядка относят: ¢ окружность, ¢ эллипс, ¢ гипербола, ¢ парабола. Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса» . ¢ 2

Аполлоний Пергский( 262 г. до н. э. ) -великий геометр античности, живший в III веке до н. э. ¢ ¢ Аполлоний прославился работой «Конические сечения» (8 книг), в которой дал общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. ¢ Он ввёл термины: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата. 3

Конические сечения 4

Кривые второго порядка определение ¢ Определение Геометрическое место точек, отношение расстояний которых от фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и равно числу e (эксцентриситету), является кривой второго порядка. ¢ Если e < 1 то эллипс, если e = 1 то это парабола, если e > 1 то это гипербола. 5

Окружность ¢ Определение Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности. центр окружности находится в точке . уравнение окружности с центром в точке Если центр окружности в начале координат, то ее уравнение примет вид 6

Пример ¢ Найти координаты центра и радиус окружности Решение В данном уравнении выделим полные квадраты Отсюда, находим центр и радиус 7

Эллипс Определение Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). ¢ канонические уравнение эллипса 8

¢ Замечание Оси координат - оси симметрии эллипса и, начало координат- центр симметрии эллипса. Числа и называют полуосями эллипса 9

¢ Определение Эксцентриситет эллипса - отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси. Замечание Так как то чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут, в случае окружности Замечание 10 - параметрическое уравнение эллипса

¢ Определение Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него называют директрисами эллипса. Уравнения директрис эллипса левый и правый фокальные радиусы 11

Свойства эллипса 1. 2. 3. 4. 12 Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника.

Директрисы эллипса расположены вне эллипса 5. 6. Отношение расстояния к расстоянию 13 от точки эллипса до фокуса от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса

Гипербола ¢ 14 Определение Гипербола - геометрическое место точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Гипербола – кривая 2 –го порядка каноническое уравнение гиперболы. Число называют действительной полуосью гиперболы, число - мнимой полуосью. Кривая состоит из двух отдельных частей - ветвей гиперболы, лежащих в областях ветви гиперболы неограниченно приближаются к прямым 15 называются асимптотами гиперболы

¢ Определение Эксцентриситет гиперболы -отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами Замечание Так как то у гиперболы Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит и форму самой гиперболы. 16 Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник

¢ Определение Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии называют директрисами гиперболы уравнения директрис гиперболы Директрисы гиперболы параллельны оси между вершинами гиперболы. 17 и пересекают ось

¢ Замечание Если гипербола называется равнобочной. Замечание В системе координат, оси которой совпадают с асимптотами - равнобочные гиперболы. Она имеет уравнение Асимптоты равнобочной гиперболы взаимно перпендикулярны Определение Сопряженные гиперболы 18

Свойства гиперболы 1. 2. 3. 4. 5. 19 Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью. По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси. Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

¢ 3. Сопряженная гипербола определяется каноническим уравнением меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот 4. Эксцентриситет гиперболы 20

Парабола ¢ Определение Парабола - геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус). ¢ Расстояние между фокусом и директрисой обозначим Значение называют параметром параболы. ¢ 21

каноническое уравнение параболы 22

Свойства параболы 1. 2. 3. 23 Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вся парабола расположена в правой полуплоскости.

¢ Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение 24

Фокально-директориальное свойство ¢ 25 отношение расстояния текущей точки кривой до фокуса к расстоянию до односторонней с этим фокусом директрисы равно эксцентриситету кривой, т. е.

¢ • • Определение Уравнение поверхности - уравнение вида Замечание Поверхности второго порядка, за исключением случаев сильного вырождения, можно разделить на пять классов: эллипсоиды, • • 26 гиперболоиды, параболоиды, конусы цилиндры.

Сфера ¢ Определение Сфера в пространстве - геометрическое место точек, одинаково удаленных от некоторой точки, называемой центром сферы. уравнение сферы радиуса • с центром в начале координат есть уравнение 27

Эллипсоиды ¢ Определение Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяемая уравнением эллипсоид есть сфера полуоси эллипсоида, если они различны, то эллипсоид трехосный 28 Эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом

Гиперболоиды ¢ Определение Двухполостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением • Определение Однополосный гиперболоид – • поверхность, которая в некоторой системе • декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением 29

Замечание Шуховская башня расположена в Москве на улице Шаболовка. Построена в 1919— 1922 г. русским архитектором Владимиром Григорьевичем Шуховым (1853— 1939). l Шуховская башня имеет конструкцию, благодаря чему достигается минимальная ветровая нагрузка. По форме секции башни — это однополостные гиперболоиды вращения, сделанные из прямых балок, упирающихся концами в кольцевые основания. Такие конструкции часто употребляются для устройства высоких радиомачт, водонапорных башен l ¢ ¢ 30

Параболоиды ¢ 31 Определение Эллиптический параболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

¢ Определение Гиперболический параболоид – поверхность определяемая уравнением Ввиду схожести гиперболический параболоид называют «седлом» . 32

¢ Определение Цилиндрическая поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию (направляющую). • Определение Тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью • и двумя сечениями, благодаря которым она была получена, называется цилиндром. 33

Классификация цилиндрических поверхностей второго порядка ¢ Эллиптический цилиндр Параболический цилиндр 34

¢ 35 Гиперболический цилиндр

¢ Определение Коническая поверхность- поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса). Конус 36