Кривые 2 -го порядка на плоскости a 11

Кривые 2 -го порядка на плоскости a 11 x 2 + a 22 y 2 +2 a 12 xy + a 1 x+ a 2 y + a 0 = 0

Окружность Множество точек, расстояние которых от данной точки, называемой центром окружности, есть величина постоянная, называемой радиусом окружности M M 0 = R (M M 0)2 = R 2

y M(x, y) M 0(x 0, y 0) x

ОТКУДА (x – x 0 )2 + (y – y 0 )2 = R 2 1. a 11 = a 22 (= 1) 2. a 12 = 0

• ПРИМЕР 3(x - 5)2 + 3(y - 10)2 = 12 или (x - 5)2 + (y - 10)2 = 4

Эллипс y M(x, y) F 1(-c, 0) F 2(c, 0) x

Множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами MF 1 + MF 2 = 2 a > 2 с

Обозначим r 1 = MF 1 ; r 2 = MF 2 Тогда имеет место r 1 + r 2 = 2 a > 2 с

(x + c)2 + y 2 + (x – c)2 + y 2 = 2 a Обозначим a 2 – c 2 = b 2 откуда a 2 = c 2 + b 2 , a >b. Тогда получаем каноническое уравнение эллипса x 2 + y 2 = 1 a 2 b 2

Форма эллипса y b -c O -a c a -b x

Числа a и b называют полуосями эллипса, число c – фокусным расстоянием. Эллипс симметричен относительно координатных осей. Центр эллипса находится в начале координат.

Вершины эллипса: точки (-а; 0), (0; -b), (0; b). Область изменения координат точек эллипса -a≤x≤a -b≤y≤b

Уравнение эллипса с центром в точке (x 0; y 0) имеет вид (x – x 0 )2 + (y – y 0 )2 = 1 a 2 b 2

y 0 + b y x 0 - c M 0 x 0+c x 0+a x 0 - a x y 0 - b

Если фокусы расположены на оси ОУ, то соответствие между осями и фокусным расстоянием будет b 2 – c 2 = a 2 , откуда b 2 = c 2 + a 2, b > a

y b c O -a a -c -b x

Если оси эллипса равны, получаем окружность a=b=R

– эксцентриситет эллипса (a 2 = c 2 + b 2 ) Свойства эксцентриситета 0 < < 1; если = 0 a = b (окружность); если 1, то b 0 (эллипс «сплющивается» ).

Директрисы эллипса Прямые называют директриссами эллипса

y M(x, y) d b -a -c O c F 2 F 1 x = - a/ r -b a x x = a/

Свойство директрисс эллипса Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса (r) к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы (d) есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса r /d = <1 r /d <1

y M(x, y) d 2 r 1 O F 1 x = - a/ r 2 F 2 x x = a/

Величины r 1 , r 2 уже были определены (r 1 + r 2 = 2 a) Для них имеет место r 1 = a + x r 2 = a – x

Гипербола Множество точек, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами

y (0, b) M(x, y) x F 1(-c, 0) (-a, 0) (0, - b) F 2(c, 0)

Расстояние между фокусами: – 2 c Модуль разности расстояний до фокусов: – 2 a 2 a < 2 c → a < c ΙMF 1 – MF 2Ι = 2 a, или Ιr 1 – r 2Ι = 2 a r 1 – r 2 = ± 2 a

(x + c)2 + y 2 - (x – c)2 + y 2 = ± 2 a Обозначим b 2 = c 2 – a 2 (b < c). Тогда получаем каноническое уравнение гиперболы x 2 − y 2 = 1 a 2 b 2

Аналогично, как и в случае эллипса (x – x 0 )2 − (y – y 0 )2 = 1 a 2 b 2

Область изменения координат точек гиперболы x 2 ≥ a 2 ΙxΙ≥a Вершины гиперболы (- a, 0); (a, 0) a – действительная полуось b – мнимая полуось

Асимптота кривой Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой

Асимптоты гиперболы y 1 = b/a y 2 = – b/a Если a = b, то уравнение гиперболы x 2 − y 2 = a 2

y’ x’

x = x‘cosα - y‘sinα y = x‘sinα + y‘cosα α = - 450 = -π/4

y’ x’

y=k/x k = a 2 /2

= c/a – эксцентриситет гиперболы c>a > 1 c 2 = a 2 +b 2 Если → 1, то b → 0: гипербола «вытягивается»

Ιr 1 – r 2Ι = 2 a Для правой ветви r 1 = x + a r 2 = x – a Для левой ветви r 1 = – ( x + a) r 2 = – ( x – a)

Директрисы гиперболы x=±a Ιx Ι = a < a не пересекают гиперболу

y (0, b) M(x, y) x F 1(-c, 0) (-a, 0) (0, - b) F 2(c, 0)

Отношение расстояния от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы r /d = >1

Если фокусы гиперболы расположены на оси ОY, то уравнение гиперболы имеет вид − x 2 + y 2 = 1 a 2 b 2 2 b – действительная ось 2 a – мнимая ось асимптоты одни и те же

x 2 − y 2 a 2 b 2 =1 − x 2 + y 2 = 1 a 2 b 2 Такие гиперболы называются сопряженными

y F 2(0, c) (0, b) M(x, y) x (-a, 0) (0, - b) F 1 (0, -c)

Парабола Множество точек, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется параметром параболы: r /d = =1 p

общее свойство кривых 2 -го порядка r /d = const = < 1 – эллипс > 1 – гипербола = 1 – парабола

y M(x, y) x (-p/2, 0) F(p/2, 0)

Расстояние от фокуса до директриссы обозначим через p. Уравнение директриссы x=-p/2 По определению параболы

Откуда получаем каноническое уравнение параболы

Вершина параболы – точка (p/2; 0). Аналогичным образом, как и для эллипса и гиперболы можно получить соотношения для других расположений параболы.

Комментарий расположения этих парабол выполнить самостоятельно.