Скачать презентацию Кривые 2 -го порядка на плоскости a 11 Скачать презентацию Кривые 2 -го порядка на плоскости a 11

A_MATEMATIKA_2016-EL.ppt

  • Количество слайдов: 51

Кривые 2 -го порядка на плоскости a 11 x 2 + a 22 y Кривые 2 -го порядка на плоскости a 11 x 2 + a 22 y 2 +2 a 12 xy + a 1 x+ a 2 y + a 0 = 0

Окружность Множество точек, расстояние которых от данной точки, называемой центром окружности, есть величина постоянная, Окружность Множество точек, расстояние которых от данной точки, называемой центром окружности, есть величина постоянная, называемой радиусом окружности M M 0 = R (M M 0)2 = R 2

y M(x, y) M 0(x 0, y 0) x y M(x, y) M 0(x 0, y 0) x

ОТКУДА (x – x 0 )2 + (y – y 0 )2 = R ОТКУДА (x – x 0 )2 + (y – y 0 )2 = R 2 1. a 11 = a 22 (= 1) 2. a 12 = 0

 • ПРИМЕР 3(x - 5)2 + 3(y - 10)2 = 12 или (x • ПРИМЕР 3(x - 5)2 + 3(y - 10)2 = 12 или (x - 5)2 + (y - 10)2 = 4

Эллипс y M(x, y) F 1(-c, 0) F 2(c, 0) x Эллипс y M(x, y) F 1(-c, 0) F 2(c, 0) x

Множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, Множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами MF 1 + MF 2 = 2 a > 2 с

Обозначим r 1 = MF 1 ; r 2 = MF 2 Тогда имеет Обозначим r 1 = MF 1 ; r 2 = MF 2 Тогда имеет место r 1 + r 2 = 2 a > 2 с

 (x + c)2 + y 2 + (x – c)2 + y 2 (x + c)2 + y 2 + (x – c)2 + y 2 = 2 a Обозначим a 2 – c 2 = b 2 откуда a 2 = c 2 + b 2 , a >b. Тогда получаем каноническое уравнение эллипса x 2 + y 2 = 1 a 2 b 2

Форма эллипса y b -c O -a c a -b x Форма эллипса y b -c O -a c a -b x

Числа a и b называют полуосями эллипса, число c – фокусным расстоянием. Эллипс симметричен Числа a и b называют полуосями эллипса, число c – фокусным расстоянием. Эллипс симметричен относительно координатных осей. Центр эллипса находится в начале координат.

Вершины эллипса: точки (-а; 0), (0; -b), (0; b). Область изменения координат точек эллипса Вершины эллипса: точки (-а; 0), (0; -b), (0; b). Область изменения координат точек эллипса -a≤x≤a -b≤y≤b

Уравнение эллипса с центром в точке (x 0; y 0) имеет вид (x – Уравнение эллипса с центром в точке (x 0; y 0) имеет вид (x – x 0 )2 + (y – y 0 )2 = 1 a 2 b 2

y 0 + b y x 0 - c M 0 x 0+c x y 0 + b y x 0 - c M 0 x 0+c x 0+a x 0 - a x y 0 - b

Если фокусы расположены на оси ОУ, то соответствие между осями и фокусным расстоянием будет Если фокусы расположены на оси ОУ, то соответствие между осями и фокусным расстоянием будет b 2 – c 2 = a 2 , откуда b 2 = c 2 + a 2, b > a

y b c O -a a -c -b x y b c O -a a -c -b x

Если оси эллипса равны, получаем окружность a=b=R Если оси эллипса равны, получаем окружность a=b=R

– эксцентриситет эллипса (a 2 = c 2 + b 2 ) Свойства эксцентриситета – эксцентриситет эллипса (a 2 = c 2 + b 2 ) Свойства эксцентриситета 0 < < 1; если = 0 a = b (окружность); если 1, то b 0 (эллипс «сплющивается» ).

Директрисы эллипса Прямые называют директриссами эллипса Директрисы эллипса Прямые называют директриссами эллипса

y M(x, y) d b -a -c O c F 2 F 1 x y M(x, y) d b -a -c O c F 2 F 1 x = - a/ r -b a x x = a/

Свойство директрисс эллипса Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса (r) к Свойство директрисс эллипса Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса (r) к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы (d) есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса r /d = <1 r /d <1

y M(x, y) d 2 r 1 O F 1 x = - a/ y M(x, y) d 2 r 1 O F 1 x = - a/ r 2 F 2 x x = a/

Величины r 1 , r 2 уже были определены (r 1 + r 2 Величины r 1 , r 2 уже были определены (r 1 + r 2 = 2 a) Для них имеет место r 1 = a + x r 2 = a – x

Гипербола Множество точек, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, Гипербола Множество точек, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами

y (0, b) M(x, y) x F 1(-c, 0) (-a, 0) (0, - b) y (0, b) M(x, y) x F 1(-c, 0) (-a, 0) (0, - b) F 2(c, 0)

Расстояние между фокусами: – 2 c Модуль разности расстояний до фокусов: – 2 a Расстояние между фокусами: – 2 c Модуль разности расстояний до фокусов: – 2 a 2 a < 2 c → a < c ΙMF 1 – MF 2Ι = 2 a, или Ιr 1 – r 2Ι = 2 a r 1 – r 2 = ± 2 a

 (x + c)2 + y 2 - (x – c)2 + y 2 (x + c)2 + y 2 - (x – c)2 + y 2 = ± 2 a Обозначим b 2 = c 2 – a 2 (b < c). Тогда получаем каноническое уравнение гиперболы x 2 − y 2 = 1 a 2 b 2

Аналогично, как и в случае эллипса (x – x 0 )2 − (y – Аналогично, как и в случае эллипса (x – x 0 )2 − (y – y 0 )2 = 1 a 2 b 2

Область изменения координат точек гиперболы x 2 ≥ a 2 ΙxΙ≥a Вершины гиперболы (- Область изменения координат точек гиперболы x 2 ≥ a 2 ΙxΙ≥a Вершины гиперболы (- a, 0); (a, 0) a – действительная полуось b – мнимая полуось

Асимптота кривой Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой при удалении точки в Асимптота кривой Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой

Асимптоты гиперболы y 1 = b/a y 2 = – b/a Если a = Асимптоты гиперболы y 1 = b/a y 2 = – b/a Если a = b, то уравнение гиперболы x 2 − y 2 = a 2

y’ x’ y’ x’

x = x‘cosα - y‘sinα y = x‘sinα + y‘cosα α = - 450 x = x‘cosα - y‘sinα y = x‘sinα + y‘cosα α = - 450 = -π/4

y’ x’ y’ x’

y=k/x k = a 2 /2 y=k/x k = a 2 /2

 = c/a – эксцентриситет гиперболы c>a > 1 c 2 = a 2 = c/a – эксцентриситет гиперболы c>a > 1 c 2 = a 2 +b 2 Если → 1, то b → 0: гипербола «вытягивается»

Ιr 1 – r 2Ι = 2 a Для правой ветви r 1 = Ιr 1 – r 2Ι = 2 a Для правой ветви r 1 = x + a r 2 = x – a Для левой ветви r 1 = – ( x + a) r 2 = – ( x – a)

Директрисы гиперболы x=±a Ιx Ι = a < a не пересекают гиперболу Директрисы гиперболы x=±a Ιx Ι = a < a не пересекают гиперболу

y (0, b) M(x, y) x F 1(-c, 0) (-a, 0) (0, - b) y (0, b) M(x, y) x F 1(-c, 0) (-a, 0) (0, - b) F 2(c, 0)

Отношение расстояния от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса к расстоянию от этой же Отношение расстояния от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы r /d = >1

Если фокусы гиперболы расположены на оси ОY, то уравнение гиперболы имеет вид − x Если фокусы гиперболы расположены на оси ОY, то уравнение гиперболы имеет вид − x 2 + y 2 = 1 a 2 b 2 2 b – действительная ось 2 a – мнимая ось асимптоты одни и те же

x 2 − y 2 a 2 b 2 =1 − x 2 + x 2 − y 2 a 2 b 2 =1 − x 2 + y 2 = 1 a 2 b 2 Такие гиперболы называются сопряженными

y F 2(0, c) (0, b) M(x, y) x (-a, 0) (0, - b) y F 2(0, c) (0, b) M(x, y) x (-a, 0) (0, - b) F 1 (0, -c)

Парабола Множество точек, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и Парабола Множество точек, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется параметром параболы: r /d = =1 p

общее свойство кривых 2 -го порядка r /d = const = < 1 – общее свойство кривых 2 -го порядка r /d = const = < 1 – эллипс > 1 – гипербола = 1 – парабола

y M(x, y) x (-p/2, 0) F(p/2, 0) y M(x, y) x (-p/2, 0) F(p/2, 0)

Расстояние от фокуса до директриссы обозначим через p. Уравнение директриссы x=-p/2 По определению параболы Расстояние от фокуса до директриссы обозначим через p. Уравнение директриссы x=-p/2 По определению параболы

Откуда получаем каноническое уравнение параболы Откуда получаем каноническое уравнение параболы

Вершина параболы – точка (p/2; 0). Аналогичным образом, как и для эллипса и гиперболы Вершина параболы – точка (p/2; 0). Аналогичным образом, как и для эллипса и гиперболы можно получить соотношения для других расположений параболы.

Комментарий расположения этих парабол выполнить самостоятельно. Комментарий расположения этих парабол выполнить самостоятельно.