Криволинейные интегралы первого рода Пушникова Марина Юрьевна

Криволинейные интегралы первого рода Пушникова Марина Юрьевна

Определение o В каждой точке гладкой кривой L в плоскости ОХУ задана непрерывная функция f(x; y) o Разобьем кривую L на n частей точками o На каждой из частей точку o Составим сумму выберем любую которая называется интегральной суммой первого рода для функции f(x; y), заданной на кривой L

Определение o Обозначим через d наибольшую из длин дуг o Если при существует предел интегральных сумм , не зависящий от способа разбиения кривой L на части и от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x; y) по кривой L и обозначается

Свойства 3. Криволинейный интеграл первого рода от функции f(x; y) по кривой L существует при условии, что подынтегральная функция f(x; y) непрерывна Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования Аддитивность 4. Линейность 5. Теорема о среднем 6. Оценка модуля 1. 2.

Вычисление o Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x) на [a; b], то при этом выражение называется дифференциалом длины дуги o Если кривая L задана параметрически x=x(t), y=y(t), где x(t), y(t) - непрерывно дифференцируемые функции на [a; b], то o Если плоская кривая L задана полярным уравнением то

Пример: вычислить где L – дуга параболы точками (2; 2) и (8; 4) , заключенная между

Пример: вычислить где A(1; 0), B(0; 1), O(0; 0)

Пример: Вычислить где L - окружность

Пример: Вычислить где L – дуга кривой, заданной параметрически

Приложения 1. Если подынтегральная функция равна 1, то криволинейный интеграл первого рода равен длине кривой L 2. Площадь цилиндрической поверхности с направляющей L и образующей, параллельной оси OZ и заключенной между L и поверхностью z=f(x; y) при условии, что z=f(x; y) непрерывная и неотрицательная функция на гладкой кривой L

Приложения 3. Масса материальной кривой L с плотностью 4. Статистические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ох и Оу 5. Координаты центра тяжести материальной кривой L 6. Момент инерции кривой L относительно осей и начала координат

Пример: вычислить площадь боковой поверхности кругового цилиндра ограниченного снизу плоскостью Оху, а сверху поверхностью