КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 -ГО РОДА 1 Задача

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 -ГО РОДА

1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла 2 -го рода. 2. Определение криволинейного интеграла 2 -го рода и его свойства. 3. Вычисление криволинейного интеграла 2 -го рода. 4. Связь криволинейного интеграла 2 -го рода с двойным. Формула Грина. 5. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. 6. Приложения криволинейного интеграла 2 -го рода.

Вопрос 1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла 2 -го рода Задача о работе силового поля Постановка задачи Пусть в неоднородной области (D) плоскости Оху задано силовое поле и в каждой точке M(x, y) этого поля известна сила действующая на единицу массы, помещенной в эту точку. Очевидно, что сила является переменной, т. е. зависит от положения точки М:

Пусть в данном поле материальная точка M(x, y) под действием переменой силы перемещается по некоторой кривой АВ (от точки А к точке В). Требуется вычислить работу А переменной силы Решение задачи Разобьем кривую AB точками A = C 0, C 1, …, Cn = B на n произвольных дуг Ci‒ 1 Ci с длинами li и в каждой из них возьмем произвольную точку Mi(xi, yi).

Заменим каждую дугу Ci‒ 1 Ci вектором Обозначим проекции силы на оси координат Ох и Оу через P(x, y) и Q(x, y) соответственно: Вычислим значение силы в выбранных точках Mi(xi, yi):

Будем считать силу постоянной на векторе перемещения и равной т. е. Тогда приближенное значение работы, совершаемой силой по перемещению точки вдоль дуги Ci‒ 1 Ci определяется как Работа А силы вдоль всей дуги АВ приближенно выражается как (1)

Пусть Переходя в равенстве (1) к пределу при 0 (n ), получим точное выражение работы А силы вдоль всей дуги АВ:

Вопрос 2. Определение криволинейного интеграла 2 -го рода и его свойства Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая L (AB) и функция P(x, y), определенная в каждой точке кривой АВ. Выполним следующие действия: 1. Разобьем кривую AB на n произвольных дуг Li с длинами li (i = 1, 2, …, n). 2. На каждой частичной дуге Li выберем произвольную точку Mi(xi, yi) и вычислим значение функции P(Mi) = P(xi, yi).

3. Найдем произведения P(xi, yi) xi, где xi - проекция дуги Li на ось Ох.

4. Составим сумму вида (2) Сумма (2) называется интегральной суммой функции P(x, y) по переменной х. 5. Пусть Найдем предел интегральной суммы (2) при 0 (n ).

О. 2. 1. Если существует конечный предел интегральной суммы (2) при 0 (n ), который не зависит от способа разбиения дуги АВ на части Li и от выбора в них промежуточных точек Mi, то этот предел называется криволинейным интегралом 2 -го рода по координате х от функции P(x, y) по кривой L (AB) и обозначается По определению

Аналогично вводится криволинейный интеграл 2 -го рода от функции Q(x, y) по координате у: где yi - проекция дуги Li на ось Оу. О. 2. 2. Сумма называется общим криволинейным интегралом 2 -го рода и обозначается

Таким образом, (3) Физический смысл криволинейного интеграла 2 -го рода Интеграл (3) – это работа переменной силы по перемещению материальной точки М вдоль дуги L (AB) в неоднородной области (D) плоскости Оху.

Замечание Криволинейный интеграл по пространственной кривой L (AB) определяется аналогично.

Свойства криволинейного интеграла 2 -го рода Свойство 1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл 2 -го рода меняет свой знак на противоположный:

Свойство 2. Криволинейный интеграл 2 -го рода по замкнутому контуру не зависит от выбора начальной точки пути интегрирования, а зависит от направления обхода контура (обход против часовой стрелки считаем положительным; по часовой – отрицательным). Криволинейный интеграл 2 -го рода по замкнутому контуру L, пробегаемому в положительном направлении, часто обозначается

Свойство 3. Если кривая AB, вдоль которой ведется интегрирование, расположена в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то Аналогично: если кривая AB расположена в плоскости, перпендикулярной оси Oy (или оси Oz), то (или ).

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла 2 -го рода. Свойство 5. Криволинейный интеграл 2 -го рода от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме криволинейных интегралов от слагаемых. Свойство 6. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.

Вопрос 3. Вычисление криволинейного интеграла 2 -го рода Случай 1. Параметрическое представление кривой L (AB). Если кривая L (AB) задана параметрически уравнениями где x(t) и y(t) - непрерывно дифференцируемые функции параметра t на отрезке [ ; ], причем точке А соответствует t = , а точке В – значение t = , то

Замечание Если L (AB) – гладкая пространственная кривая, которая описывается непрерывно дифференцируемыми на отрезке [ ; ] функциями то

Случай 2. Явное представление кривой L (AB). Если кривая L (AB) задана явно уравнением у=у(х), где x [a; b] и у(х) - непрерывно дифференцируемая функция, то

Вопрос 4. Связь криволинейного интеграла с двойным. Формула Грина Связь между двойным интегралом по области (D) и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Грина (др. названия – формула Римана-Грина, формула Остроградского. Грина). Пусть на плоскости Оху задана область (D), ограниченная гладкой или кусочно-гладкой кривой L, пересекающейся с прямыми, параллельными координатными осям Ох и Оу, не более чем в двух точках, т. е. область (D) - правильная.

Т. 4. 1. Пусть (D) - некоторая правильная замкнутая область, ограниченная контуром L, и пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными в данной области. Тогда имеет место формула Грина: (4) Замечание Формула Грина (4) справедлива и для произвольной области (D), которую можно разбить на конечное число правильных областей.

Пример 1. С помощью формулы Грина найти криволинейный интеграл где L – окружность x 2 + y 2 = R 2. Решение P(x, y) = x ‒ y, Q(x, y) = x + y Функции P(x, y), Q(x, y), непрерывны в замкнутом круге.

Следовательно, формула Грина (4) применима к данному интегралу:

Вопрос 5. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Величина криволинейного интеграла (5) при заданном подынтегральном выражении и заданной начальной и конечной точках линии интегрирования может зависеть от линии, соединяющей эти точки.

Возникает вопрос: при каких условиях данный интеграл (5) не зависит от линии, по которой производится интегрирование, а зависит исключительно от начальной и конечной точек линии интегрирования? С точки зрения механики независимость интеграла (5) от линии интегрирования L (АВ) означает, что величина работы в силовом поле, определяемом силой , не зависит от формы пути, а зависит только от его начальной и конечной точек. Уточним, какие области будут рассматриваться далее.

О. 5. 1. Плоская область (D) называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области (D). Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр» . Например, односвязными областями являются внутренность круга, внутренность эллипса, многоугольника и т. п. Примером неодносвязной области является кольцо: его граница состоит из двух непересекающихся замкнутых линий.

Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой замкнутой односвязной области (D). Т. 5. 1. Для того чтобы криволинейный интеграл (5) по кривой L = AB в области (D) не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому контуру в области (D), был равен нулю.

Т. 5. 2. (независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования) Тогда для того чтобы криволинейный интеграл (5) по кривой L = AB в области (D) не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы всюду в области (D) выполнялось равенство:

Выводы Если область (D) односвязна, и функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными в этой области, то следующие четыре утверждения равносильны: 1. Криволинейный интеграл взятый по любому замкнутому контуру L, целиком лежащему в области (D), равен нулю.

2. Криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. 3. Выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy является полным дифференциалом, т. е. существует такая функция F(x, y), определенная в (D), что d. F = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. 4. Во всех точках области (D) имеет место равенство

Вопрос 6. Приложения криволинейных интегралов 2 -го рода 1. Площадь плоской фигуры. Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L находится по формуле при этом кривая L обходится в положительном направлении (против часовой стрелки).

2. Работа силового поля (переменной силы). Переменная сила на криволинейном участке АВ производит работу, которая находится по формуле

В случае пространственной кривой АВ имеем где

Пример 2. Найти работу силы вдоль кривой y = x 3 от точки О(0, 0) до точки В(1, 1). Решение y(x) = x 3 y (x) = 3 x 2; x [a; b] а = 0, b = 1.