Кривизна линий на поверхности торая квадратичная форма поверхност

Кривизна линий на поверхности. торая квадратичная форма поверхност

На любой поверхности между двумя точками можно провести бесконечное множество самых различных линий, обладающих теми или иными свойствами. Для решения геодезических задач на поверхности эллипсоида нас будут интересовать из этого множества только те линии, которые связаны с измерениями, редуцированными на поверхность эллипсоида с физической поверхности Земли, а также координатные линии.

Плоские сечения – линии, образованные как след пересечения поверхности некоторой плоскостью. Различают: ü нормальные сечения ü центральные сечения

Геодезическая линия – кратчайшая кривая между двумя точками на поверхности.

Основные определения, относящиеся к кривым на поверхностях В каждой точке кривой можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости и прямые, образующие сопровождающий трехгранник кривой: Ø - касательную плоскость К и вектор касательной к кривой L в точке М Ø - нормальную плоскость N Ø - соприкасающуюся плоскость кривой S, Ø - бинормаль

Если на поверхности эллипсоида имеем две точки А и В, то между ними можно провести как геодезическую линию ( одну единственную ), так и нормальное как в одной, так и другой точках сечения.

Уравнение любой поверхности можно записать в векторной форме Подставляя сюда выражения для координат для эллипсоида получим уравнения его поверхности в функции параметрических координат: Координатными линиями на поверхности земного эллипсоида являются меридианы и параллели, Полагая L = const, d. L = 0, получим уравнение меридиана в функции геодезической и приведенной широты И для параллели получим аналогично при условии B = const, d. B = 0

Вторая основная функция широты

Вторая квадратичная форма поверхности Второй квадратичной формой поверхности называется скалярное произведение векторов и Для коэффициентов второй квадратичной формы приняты следующие обозначения Это позволяет записать ее в следующем простом виде

Покажем еще один способ вычисления коэффициентов второй квадратичной формы поверхности. Заменим в формулах единичный вектор нормали на его выражение, получим, Для подробного вывода нужно знать тождество: Так как векторы и ортогональны. Поэтому. Откуда Отсюда, дифференцируя, получим: Это дает еще один способ расчета второй квадратичной формы.

Новые формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы.

Свойства квадратичной формы во многом определяются ее дискриминантом. Вычислим дискриминант второй квадратичной формы в точке

Случай 1 Такая точка поверхности называется эллиптической точкой.

Случай 2 В этом случае точка называется гиперболической точкой поверхности.

Случай 3 В этом случае точка называется параболической точкой поверхности

Случай 4 Такая точка называется точкой уплощения поверхности.

Вывод При решении геодезических задач на поверхности земного эллипсоида используются методы дифференциальной геометрии. Вторая квадратичная форма описывает поверхность во втором приближении. Она показывает, как отклоняется поверхность от касательной плоскости, и полностью определяет кривизну поверхности. Вторая квадратичная форма эффективна при выяснении графических свойств регулярной поверхности