Кратные и криволинейные интегралы Ø Двойной интеграл определение

Кратные и криволинейные интегралы Ø Двойной интеграл (определение), его свойства и вычисление в декартовых и полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Ø Криволинейный интеграл, его свойства и вычисление. Приложения криволинейного интеграла. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Двойные интегралы Пусть дана функция z=f(x, y) непрерывная и неотрицательная в области G Если существует предел , где f(x, y) – функция, заданная в области G, причем этот предел не зависит от способа разбиения области G на частичные области и выбора точек , то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области G ОБОЗНАЧЕНИЕ

Двойные интегралы Если f(x, y)>0 в области G, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, и снизу областью G плоскости x. Oy.

Двойные интегралы Кривая называется гладкой, если в каждой точке существует касательная и при переходе от точки к точке положение этой касательной меняется непрерывно Непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков, называется кусочно-гладкой Если область G с кусочно-гладкой границей Г ограничена и замкнута, а функция f(x, y) непрерывна в области G, то эта функция интегрируема в области G. В дальнейшем будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены

Свойства двойного интеграла 1. Постоянный множитель можно вынести за знак 2. двойного интеграла 2. Двойной интеграл от суммы двух функций равен сумме двойных интегралов от этих функций (свойство справедливо для суммы любого конечного числа функций) 3. Пусть область G разбита на две области Тогда и

Свойства двойного интеграла 4. Если функция f(x, y)>0 в области G, то 5. Теорема о среднем: Двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на площадь этой области

Вычисление двойных интегралов ЗАДАЧА Вычислить двойной интеграл от непрерывной в области G функции f(x, y) y (1) d G c (2) a b x

Вычисление двойных интегралов Выражения в правой части (1) и (2) называются повторными интегралами. Для вычисления (1) надо последовательно взять два обычных определенных интеграла: сначала внутренний интеграл , в котором x считается постоянной, а затем полученное выражение (оно зависит от x) проинтегрировать по x от a до b – внешний интеграл Аналогично при втором способе перехода от двойной интегральной суммы к повторной

Пример

Вычисление двойных интегралов G – произвольная область на плоскости XOY y D d А c G C a B b x Если и уравнения нижней и верхней частей контура, ограничивающего область G, на которые он делится точками А и В. Тогда

Вычисление двойных интегралов Если и - уравнения левой и правой частей контура, ограничивающего область G, на которые он делится точками С и D. Тогда

Пример область G ограничена линиями y=x и y 1 1 x

Двойной интеграл в полярных координатах Связь декартовых и полярных координат Если подынтегральная функция или уравнение границы области интегрирования содержит сумму , то переходят к двойному интегралу в полярных координатах

Пример область G – первая четверть круга с центром в начале координат и радиусом, равным 1 1 1

Вычисление площади кривой поверхности Пусть - участок поверхности z=f(x, y), а область G – его проекция на координатную плоскость XOY Предположим, что функция f(x, y) и ее первые частные производные непрерывны в G вплоть до границы Площадь S поверхности вычисляется по формуле

Пример Вычислить площадь поверхности сферы Уравнение верхней поверхности сферы область интегрирования определяется условием

Пример - площадь поверхности сферы

Криволинейные интегралы Пусть в плоскости XOY дана некоторая гладкая кривая АВ и на этой кривой определена непрерывная функция Если существует предел , не зависящий от способа деления дуги АВ на частичные дуги и выбора точек , то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(M) по дуге АВ ОБОЗНАЧЕНИЕ или

Криволинейные интегралы Дуга АВ называется путем интегрирования, точка А – начальной, а точка В -конечной точками интегрирования, сумма - интегральной суммой. Криволинейный интеграл первого рода при численно равен площади участка цилиндрической поверхности с образующей параллельной оси Oz; снизу этот участок ограничен дугой АВ, сверху – кривой, изображающей подынтегральную функцию z=f(M).

Криволинейные интегралы В выражении величины обязательно положительны независимо от того, какую точку кривой АВ считать начальной, а какую конечной Поэтому

Криволинейные интегралы Пусть P(M) и Q(M) – проекции вектора-функции , определенной на дуге АВ, соответственно на оси координат OX, OY Если существует предел , не зависящий от способа деления дуги АВ на частичные дуги и выбора точек , то он называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции по дуге АВ ОБОЗНАЧЕНИЕ или

Криволинейные интегралы С физической точки зрения криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу силы вдоль дуги АВ Если Q(x, y)=0 (или P(x, y)=0), то интеграл второго рода имеет вид (или )и называется криволинейным интегралом по координаnам x (или y) Криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) совершается обход по кривой АВ и меняет знак при изменении направления обхода кривой

Криволинейные интегралы В случае, когда L – замкнутая кривая (точка В совпадает с точкой А) из двух возможных направлений обхода замкнутого контура L, условимся называть положительным тот, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура L условимся называть отрицательным.

Свойства криволинейных интегралов 1. Постоянный множитель можно вынести за знак 2. криволинейного интеграла 2. Криволинейный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме криволинейных интегралов от слагаемых 3. Если путь интегрирования разбит на конечное число частей, то криволинейный интеграл по всему пути равен сумме криволинейных интегралов по всем его частям 4. Криволинейный интеграл вдоль замкнутого контура не зависит от выбора начальной точки на этом контуре

Вычисление криволинейных интегралов Пусть функции f(x, y), P(x, y), Q(x, y) определены и непрерывны на этой дуге Гладкая дуга АB задана параметрическими уравнениями Гладкая дуга АB задана уравнением у=у(x) на отрезке [a, b]

Пример Вычислить , где AB – часть окружности , расположенная в первой четверти координатной плоскости AB:

Пример Вычислить AB: , где AB – отрезок прямой от A(0; 0) до B(4; 3)

Вычисление криволинейных интегралов Гладкая дуга АB задана параметрическими уравнениями Гладкая дуга АB задана уравнением у=у(x) на отрезке [a, b]

Пример Даны точки А(0, 6) и В(3, 0). Найти работу, совершаемую силой на отрезке АВ. AB:

Вычисление криволинейных интегралов Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой области G Пусть граница этой области L пересекается прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках Тогда справедлива формула Грина где кривая L ориентирована в положительном направлении

Пример С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл , где L – замкнутая кривая, соединяющая точки А(1, 0), В(0, 1), С(1, 1)

Пример С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл , где L – окружность

Скалярное поле Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле данной величины. Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, то есть характеризуется своим числовым значением ПРИМЕР поле температур, поле давлений

Скалярное поле задается скалярной функцией точки u=f(M), где M - точка Если в пространстве введена декартова система координат, то u есть функция трех переменных x, y, z – координат точки М u=f(x, y, z) Так как u=f(x, y, z) – функция трех переменных, то можно говорить о таких характеристиках скалярного поля, как поверхность уровня, производная по направлению, градиент

Векторное поле и его характеристики Если в каждой точке M(x, y, z) пространства или части пространства определена векторная величина то говорят, что задано векторное поле Задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций от трех переменных P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) ПРИМЕР силовое поле, поле скоростей течения жидкости

Векторное поле и его характеристики Для геометрической характеристики векторного поля используют векторные линии Векторной линией векторного поля называется кривая, касательная к которой в любой точке М имеет то же направление, что и вектор поля ПРИМЕР В силовом поле векторными линиями называются силовые линии; в поле скоростей движения жидкости векторными линиями называются линии тока

Векторное поле и его характеристики Пусть векторное поле определяется вектор-функцией где P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – непрерывные функции переменных x, y, z, имеющие ограниченные частные производные первого порядка Тогда уравнение векторной линии этого поля имеет вид

Пример Найти векторные линии векторного поля Дифференциальные уравнения векторных линий имеет вид или и Интегрируя, получим два уравнения , где - постоянные Пересечение плоскостей с параболическим цилиндром дает двухпараметрическое семейство векторных линий заданного векторного поля

Векторное поле и его характеристики Потоком вектора (векторного поля) через поверхность называется интеграл по поверхности от проекции вектора на нормаль к поверхности где Интеграл, определяющий поток существует, если вектор непрерывен (то есть непрерывны его координаты P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) и поверхность является гладкой (то есть имеет непрерывно меняющуюся касательную плоскость)

Векторное поле и его характеристики Пусть поле создается точечными зарядами, помещенными в начало координат. Вектор напряженности поля в любой точке P имеет вид q – величина заряда, - орт вектора - радиус-вектор точки Р Требуется найти поток вектора напряженности через - сферу радиуса R с центром в начале координат

Векторное поле и его характеристики Так как направление нормали направлением радиуса-вектора На сфере к сфере совпадает с , то радиуса R имеем r=R Поток вектора через равен

Свойства потока через поверхность 1. Линейность 2. где 2. Аддитивность Если поверхность разбита кусочно-гладкой кривой на две части и , то поток через поверхность равен сумме потоков через поверхности и

Свойства потока через поверхность 3. Зависимость потока от ориентации поверхности Понятие потока вводится только для двусторонних поверхностей. Обозначим ту сторону поверхности , на которой выбран вектор нормали , а через сторону поверхности , на которой берется вектор нормали. Тогда получим где . Таким образом, при изменении ориентации поверхности поток вектора меняет знак на противоположный.

Векторное поле и его характеристики Дивергенцией векторного поля называется скалярная функция, обозначаемая

Векторное поле и его характеристики 1. Линейность 2. Дивергенция постоянного вектора равна нулю 3. Дивергенция произведения скалярной функции u(M) на вектор вычисляется по формуле

Векторное поле и его характеристики Если в некоторой области G пространства координаты вектора непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то поток вектора через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G равен

Векторное поле и его характеристики Циркуляцией векторного поля по L называется криволинейный интеграл второго рода от вектора по L, имеющий вид Ротором вектора символом называется вектор, обозначаемый и определяемый равенством

Пример Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса Параметрическое уравнение эллипса

Векторное поле и его характеристики Циркуляция вектора вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность , натянутую на контур L Если в некоторой области G , то поле вектора в области G называется безвихревым Векторное поле называется соленоидальным, если