Краткое введение в теорию графов Салищев С И

Краткое введение в теорию графов Салищев С. И.

Определение графа Ориентированный Граф Вершина Дуга Неориентированный Граф Ребро

Дерево l l l Дерево – связный неориентированный ациклический граф Корневое дерево – дерево с выделенной вершиной (корнем), корень задает ориентацию Ориентированное дерево – связный ориентированный граф в котором все вершины кроме одной имеют входящую степень 1, одна вершина (корень) имеет входящую степень 0 Лист – вершина с исходящей степенью 0 Лес – множество деревьев

Обход дерева в ширину l Порядок посещения вершин по слоям BFS(start_node, goal_node) { // изначально список посещённых узлов пуст for(all nodes i) { visited[i] = false; } queue. push(start_node); // начиная с узла-источника visited[start_node] = true; while(! queue. empty() ) { // пока очередь не пуста node = queue. pop(); // извлечь первый элемент в очереди if(node == goal_node) { // проверить, не является ли текущий узел целевым return true; } // все преемники текущего узла, . . . foreach(child in expand(node)) { //. . . которые ещё не были посещены. . . if(visited[child] == false) { queue. push(child); //. . . добавить в конец очереди. . . visited[child] = true; //. . . и пометить как посещённые } } } return false; // Целевой узел недостижим }

Обход дерева в глубину Посещение вершин по правилу левой руки l Время обнаружения и время завершения образуют правильную скобочную DFS(G, v): 1 procedure последовательность – любые два интервала либо не пересекаются либо один содержится в другом l 2 label v as discovered 3 for all edges e in G. adjacent. Edges(v) do 4 if edge e is unexplored then 5 w ← G. adjacent. Vertex(v, e) 6 if vertex w is unexplored then 7 label e as a discovered edge 8 recursively call DFS(G, w) 9 else 10 label e as a back edge 11 label v as explored

Остовное дерево графа l l l Поддерево (лес) неориентированного графа, содержащее все его вершины Деревья поиска в ширину и глубину – остовные Хорда – ребро графа не из остовного дерева

Классификация ребер при поиске в глубину Ребра дерева 2. Прямые ребра соединяют вершину с потомком в дереве 3. Обратные ребра соединяют вершину с предком в дереве 4. Перекрестные ребра – остальные ребра В неориентированном графе все ребра не в дереве - обратные 1.

Топологическая сортировка l l Топологическая сортировка упорядочивает вершины ориентированного графа в порядке не нарушающем направление дуг Обратный порядок завершения при поиске в глубину дает топологическую сортировку Граф имеет цикл если поиск в глубину находит обратное ребро Порядок обхода в ширину дает топологическую сортировку (следует добавить виртуальную вершину для объединения истоков)

Двусвязные компоненты l l l l Точка сочленения (шарнир) – вершина, удаление которой из графа делает его несвязным Двусвязный граф – не содержащий точек сочленения Двусвязная компонента – максимальный двусвязный подграф Мост – ребро при удалении нарушающее связность графа Мост – двусвязная компонента из одного ребра Граф разбивается на множество двусвязных компонент, разделенных точками сочленения Двусвязные компоненты образуют дерево

Поиск точек сочленения l l Поиск в глубину не находит обратных ребер между двусвязными компонентами Пусть вершины занумерованы временем обнаружения при поиске в глубину d(v) Для каждой вершины найдем L(v) – минимальный номер вершины, в которую можно вернуться по обратному ребру из v или потомков v или номер родителя, если обратных ребер нет v является точкой сочленения тогда и только тогда – – l Корень, если у него больше одного ребенка Другие вершины, если есть ребенок u и L(u)=d(v) Пример: – – – (4, 2), (5, 2) – обратные ребра L(2)=1, L(3)=2, L(4)=2, L(5)=2, L(6)=5 2, 5 – точки сочленения (1, 2), (5, 6) – мосты [(2, 3), (3, 4), (4, 5), (4, 2), (5, 2)] – двусвязная компонента