Краткие сведения о начертательной геометрии ЛЕКЦИЯ 3

Краткие сведения о начертательной геометрии ЛЕКЦИЯ 3

Начертательная геометрия является тем разделом геометрии, в котором изучаются методы изображения пространственных фигур на чертеже и алгоритмы решения позиционных, метрических и конструкционных задач

Начертательная геометрия… «является наивысшим средством для развития той таинственной и мало поддающейся изучению точными науками способности человеческого духа, которая зовется воображением и которая является ступенью к другой способности – фантазии, без которой не совершаются великие открытия и изобретения» Н. А. Рынин

Как сформировавшаяся наука начертательная геометрия (метод ортогонального проецирования) возникла лишь в результате трудов французского ученого и общественного деятеля Гаспара Монжа, который свел в стройную систему весь разрозненный материал по методу ортогонального проецирования, и по заслугам считается его творцом Гаспар Монж (1746 1818) Он впервые предложил рассматривать плоский чертеж из двух проекций как результат совмещения двух плоскостей проекций вращением вокруг их общей линии, названной осью проекций

Точки обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, D… арабскими цифрами: 1, 2, 3, 4… последовательность точек: A 1, A 2, Аз Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекции, обозначаются строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с, d. . . Углы и плоскости - строчными буквами греческого алфавита: . . . Поверхности - прописными буквами русского алфавита: цилиндр - Ц, конус - К. . .

Плоскости проекций горизонтальная - Н, фронтальная - V, профильная – W Возможное обозначение плоскостей проекций - строчной буквой греческого алфавита - : горизонтальная - 1, фронтальная - 2, профильная - 3 или прописной буквой П: П 1, П 2, П 3 Оси проекций - строчными буквами: о- начало координат; х- ось абсцисс; у- ось ординат; z- ось аппликат. Проекции точек: на горизонтальную плоскость Н: А', В', С', на фронтальную плоскость V: А", В", С". . . на профильную плоскость W: А///, В///, С///. . . Проекции линий - по проекциям точек, определяющих линию, кроме того, горизонталь - h; фронталь - f; профильная линия - р.

Центральное проецирование S В Н – плоскость проекций S – центр проекций C А D Н AН BН SA – проецирующий луч AН – проекция точки А на плоскость Н CН ≡ (DН) Свойства центральных проекций: Проекция точки – есть точка Проекция прямой – прямая, кроме прямых, совпадающих с направлением луча Изображение проецирующей прямой вырождается в точку, а фиксированные на ней точки являются конкурирующими

Параллельное проецирование Прямоугольное =900 Проецирование выполняют пучком параллельных лучей заданного направления S – угол, который составляет направление проецирования S с плоскостью проекций S // // Косоугольное 900 // = 350 (применяется при построении теней) A 2 S l 2 A // l x A 1 A 2 z l 1 35 о x О 35 о y A 1 l 2 45 о l 1

Пространственная модель координатных плоскостей проекций VI O – Origo начало Z II V VII I O X Y III VIII IV Плоскости проекций в Декартовой системе координат делят пространство на 8 частей – октантов

Ортогональное проецирование Ortogonios – прямоугольный Z (Х 2, 3) П 2 П 3 О Х (Х 1, 2) П 1 – горизонтальная плоскость проекций П 2 – фронтальная плоскость проекций П 3 – профильная плоскость проекций П 1 П 2; П 1 ∩ П 2= OX (X 1, 2) П 1 П 3; П 1 ∩ П 3= OY (X 1, 3) П 1 Y(Х 1, 3) П 2 П 3; П 2 ∩ П 3= OZ (X 2, 3)

Ортогональные проекции точки Z П 2 А 2 ZА X П 1 // А XА // А 1 XА XА// YА А 3 ZА ZА АX YА АZ XА // YА AA 1 = A 2 AX = A 3 AY = AZO = Z; O П 3 AA 3 = A 2 AZ = AXO = A 1 AY = X; ZА YА AA 2 = A 1 AX = AYO = A 3 AZ = Y; АY Y Координаты – это величины, которые определяют расстояния точки до соответствующих плоскостей проекций

Аппарат проецирования

Комплексный чертеж (эпюр Монжа) П 2 x. A А Z А 2 А 3 z. A 0 АХ y. A А 1 П 3 y. A АУ (от. фр. глагола еpurer – улучшать, исправлять рисунок) Комплексный чертеж – это чертеж, состоящий из двух и более ортогональных проекций геометрического образа. Получается совмещением трех плоскостей проекций в одну x. A АУ Линии, перпендикулярные к осям и соединяющие параллельные проекции, называются линиями проекционной связи

Способы задания прямой в пространстве: Двумя ее проекциями B 2 B A 2 0 A A 1 B 1 Набор параметров, выделяющих единственную плоскость, называется ее определителем (∆)

Способы задания прямой на эпюре: Проекциями двух принадлежащих ей точек Проекцией точки и направлением b 2 И В 2 А 2 X X А 1 b 1 И В 1 Эпюром прямой называется чертеж, состоящий из двух или более ортогональных проекций, связанных между собой

B 2 х C 2 N≡N 2 N – фронтальный след прямой АВ A 2 N 1 B 1 A 1 С≡С 1 С – горизонтальный след прямой АВ

Положение прямых в пространстве (относительно плоскостей проекций) на комплексном чертеже определяют их графические признаки Прямые общего положения ни одна из проекций не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций частного положения Уровня параллельны одной из плоскостей проекций B 2 B A 2 Ax A A 1 Вx A B 0 B 1 B 2 B A 2 Ax А 1 В 1 = АВ cosα Вx Проецирующие перпендикулярны одной из плоскостей проекций C 2 C D 2 D 0 B 1 A 1 = 0; АВ||П 1 C 1≡D 1 = 90 o

Линией уровня или Пj A z // Ai j /// B /// // j Bj пп z z М п Bi Пi Aj A i, j z j B i, j z Мi i, j Мj «уровенной» прямой называется линия, параллельная одной из плоскостей проекций Линия уровня и плоскость, которой она параллельна, имеют одинаковые названия (имена) Метрические свойства: X Длина одноименной проекции отрезка прямой равна длине самого отрезка [АВ] = [Аi. Вi], а угол оj наклона одноименной проекции отрезка [Аi. Вi] к оси хi, j равен углу о наклона самого отрезка [АВ] к разноименной плоскости проекций j

h – горизонталь z(х2, 3) Z(х2, 3) h 3 h 2 h x 1, 2 h 1 П 2 Zh П 3 П 1 Y(х1, 3) Zh Х 1 , 2 y(х 1, 3) Zh h =нв h 1 Zh 2 3 Y(х1, 3)

f – фронталь z(х2, 3) // // П 2 f Z(х2, 3) f 3 П 3 yf в =н f 2 Х 1 , 2 П 1 x 1, 2 f 1 П 1 y(х 1, 3) f 1 3 yf yf f 1 Y(х1, 3) f 3 yf П 3 Y(х1, 3)

р – профильная прямая Z(Х 2, 3) z(х2, 3) хр 3) П 2 П 1 yр р1 yf 1 y(х 1, хр в р р р1 =н р3 р3 Х 1 , 2 x 1, 2 3 р2 р3 р2 yр П 3 Y(Х 1, 3) хр хр Y(Х 1, 3)

z(х2, 3) nj ni n x 1, 2 nq Проецирующей называется прямая, перпендикулярная какойлибо плоскости проекций: n Пi в пространстве одноименная проекция проецирующей прямой вырождается в точку, y(х 1 , 3 ) а разноименная – перпендикулярна оси, разделяющей ее с одноименной проекцией

Z(Х 2, 3) а 2 Х 1 , 2 а 3 b 2 П 2 а – горизонтально проецирующая прямая П 1 c 2 c 3 b 3 П 3 Y(Х 1, 3) c 1 а 1 b – фронтально проецирующая прямая b 1 Y(Х 1, 3) с – профильно проецирующая прямая

Способы задания плоскости в пространстве 1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой 2. Прямой и точкой вне прямой 3. Параллельными прямыми Способы задания плоскости на эпюре (АВ ll СD) (А; ВС) (А; В; С) В 2 А 2 А 2 С 2 х В 2 С 2 А 1 В 1 // // D 2 х х С 1 В 2 А 1 В 1 С 1 А 1 С 1 // // D 2 В 1

Способы задания плоскости в пространстве 4. Пересекающимися прямыми 5. Плоской фигурой (отсеком плоскости) 6. Следами Способы задания плоскости на эпюре В 2 х p. П 2 А 2 С 2 х В 1 Pz В 2 С 2 А 1 (р. П 1; р. П 2; р. П 3) z ( АВС) (АВ∩ВС) С 1 А 1 В 1 х p. П 3 Px Py p. П 1 Py y

Следы плоскости Следом плоскости называют линию ее пересечения с плоскостью проекций р1 – горизонтальный след р2 – фронтальный след р3 – профильный след

Проецирующие плоскости Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, называется проецирующей Особенности проецирующих плоскостей: – одна проекция любого элемента, расположенного – в проецирующей плоскости, совпадает с соответствующим следом этой плоскости – угол наклона заданной плоскости к плоскости проекций на эпюре проецируется в натуральную величину

Горизонтально – проецирующая плоскость П 1 ( АВС)∈ ; П 1; 1≡ 1 Угол наклона к П 2 П 2 B A П 2 П 1 x C П 1 A 1 С 1 x x ( АВС) П 1 В 2 0 А 2 B 1 С 2 х П 1 С 1 А 1 В 1

Фронтально – проецирующая плоскость П 2 ( АВС)∈ ; П 2; 2≡ 2 П 2 A 2 B 2 С 2 2 x C Угол наклона к П 1 x x П 2 П 1 A ( АВС) П 2 B С 2 В 2 0 А 2 П 1 х П 1 С 1 А 1 В 1

Профильно – проецирующая плоскость П 2 П 3; ( АВС) П 3; П 3≡ 3 z П 3 x П 1 П 2 B П 1 = П 2 = П 1 у ( АВС) П 3 A C x A 3 П 3 С 1 0 3 B 1 П 3 у z В 2 А 3 С 2 х В 3 В 1 А 1 С 1 y

Плоскости уровня Плоскость, параллельная к плоскости проекций, называется плоскостью уровня Особенности плоскостей уровня: – любая плоская фигура, расположенная в плоскости уровня, проецируется на параллельную ей плоскость проекций без искажения, – т. е. в натуральную величину

Горизонтальная плоскость АВС||П 1 А 1 В 1 С 1=| АВС| ll. П 1 АВС∈ ; АВС ll П 1 П 2 Ax С 2 B A АВС ll С B 1 A 1 С 1 0 П 1 А 1 В 1 С 1

Плоскости уровня горизонтальная фронтальная ( АВС) ll П 1 С 1 В 1 Натуральная величина нв С 2 // А 1 // В 1 С 1 // х // А 1 А 2 // С 2 // х // В 2 ( АВС) ll П 3 z В 3 В 2 А 3 нв А 2 // А 2 В 2 ( АВС) ll П 2 профильная х С 2 А 1 В 1 С 1 y С 3