Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона

Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона при наличии цилиндрической симметрии Рассмотрим задачу нахождения электростатического потенциала в ограниченном цилиндре Введем цилиндрические координаты Пусть ось совпадает с осью симметрии цилиндра Будем полагать, что все заданные функции не зависят от полярного угла Пусть известна плотность зарядов в цилиндре и заданы краевые условия на его поверхности Тогда

Краевые задачи для уравнения Пуассона при наличии цилиндрической симметрии Уравнение Пуассона внутри цилиндра Граничные условия на крышках Граничные условия на боковой поверхности 2

Задача I Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в ограниченном цилиндре с однородными граничными условиями на боковой поверхности Физическая постановка задачи Найти потенциал электростатического поля внутри цилиндрической коробки кругового сечения боковая поверхность которого заземлена, на нижнем основании создан потенциал а на верхнем – уравнение Лапласа в цилиндрической с. к. (I. 1) (общий случай) в нашем случае - аксиальная (I. 2) симметрия, отсутствует 3

Математическая постановка задачи I Требуется найти решение уравнения Лапласа внутри цилиндрической коробки (I. 3) удовлетворяющее граничным условиям: а) на крышках (I. 4) б) на боковой поверхности (I. 5) 4

Для решения поставленной задачи будем использовать метод разделения переменных а именно, решение будем искать в виде (I. 6) Подставим решение (I. 6) в уравнение Лапласа (I. 3), получим (I. 7) , . Разделим уравнение (I. 7) на выражение или (I. 8) 5

Функции зависят от разных переменных, следовательно, равенство (I. 8) возможно, если выражения, входящие в это равенство, равны некоторой константе Задача с переменной r Требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (I. 9) с граничными условиями (I. 10) (I. 11) 6

Задача с переменной z Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (I. 12) Замечание Первое граничное условие (I. 10) задачи 1 является следствием того, что по условию исходной задачи потенциал . на боковой поверхности цилиндра равен нулю. Второе (I. 11) – возникает в связи с тем, что в условии задачи нет ни линейных, ни точечных зарядов на оси цилиндра. В таком случае потенциал в нуле не имеет особенностей. 7

Задача с переменной r представляет собой задачу Штурма-Лиувилля нахождения собственных функций оператора Лапласа, зависящего только от (I. 13) А). Пусть (I. 14) Сделаем замену переменной . Обозначим уравнением Бесселя нулевого порядка в новых переменных общее решение . 8

– функция Бесселя нулевого порядка – функция Неймана нулевого порядка имеет особенность в нуле, то для того, чтобы удовлетворить граничному условию (I. 11), необходимо положить . Решением задачи с переменной r является функция . 9

Второе граничное условие задачи c переменной r (I. 10) приводит к равенству (I. 15) -ый корень функции Бесселя Из (I. 15) получаем (I. 16) Б). Рассмотрим случай или 10

решение (I. 17) В (I. 17) следует положить , иначе условие (I. 11) не обеспечивается : При получаем , и в силу условия (I. 10) Таким образом, предположение приводит к решению 11

В). Рассмотрим случай Сделаем замену переменной Дифференциальное уравнение (I. 9) для преобразуется в модифицированное уравнение Бесселя, общее решение которого – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, для которой не выполнится граничное условие в нуле – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, для которой не выполнится граничное условие 12

Решение задачи с переменной z Общее решение этого уравнения будем искать в виде (I. 18) независимые функции вронскиан (I. 19) 13

Обозначим Известно, что . если 14

Подставим в (I. 6) соответствующие решения задач c r и z, получим, что общее решение уравнения Лапласа в виде (I. 20) неизвестные константы можно найти из граничных условий (I. 4) ряды Фурье-Бесселя для граничных функций (I. 21) (I. 22) 15

Граничные условия (I. 4) с учётом (I. 20) и (I. 21) приводят к системе уравнений (I. 23) Ответ задачи I (I. 24) 16