Ковалевич Н И АКТУАРНЫЙ АНАЛИЗ АКТУАРНЫЙ АНАЛИЗ

Ковалевич Н. И. АКТУАРНЫЙ АНАЛИЗ

АКТУАРНЫЙ АНАЛИЗ Цель курса – дать студентам основы финансовой математики, научить производить сложные финансовоэкономические расчеты, освоить основные методы анализа и управления капиталом в рыночных отношениях. 2

ПРЕДМЕТ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ Количественный финансовый анализ — одно из самых динамичных направлений экономической науки — сформировался на стыке финансовой науки и математики. Он нацелен на решение широкого круга задач — от элементарного начисления процентов до анализа сложных инвестиционных, кредитных и коммерческих проблем в различных их постановках, зависящих от конкретных условий. Проверенные практикой методы этого анализа составляют предмет финансовой математики. 3

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ Измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон; Разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности; Измерение зависимости конечных результатов операции от основных её параметров; Определение допустимых критических значений этих параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции. 4

ВРЕМЯ КАК ФАКТОР В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования и кредитования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (time-value of money). Влияние фактора времени многократно усиливается в период инфляции. Очевидным следствием принципа временной неравноценности денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, в финансовом и, более широко, в экономическом анализе, особенно принятии решений финансового порядка. 5

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Под процентными деньгами, или, кратко, процентами (interest), понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т. д. Проценты — один из важнейших элементов коммерческих, кредитных и инвестиционных контрактов, межстрановых экономических и финансовых соглашений. Под процентной ставкой (rate of interest) понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т. е. отношение дохода (процентных денег) к сумме долга за единицу времени. Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. Процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов называют наращением, или ростом, этой суммы. 6

ВИДЫ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК Простые – сложные (по базе для их начисления) Ставки наращения – учетные ставки (по принципу расчетов процентов) Фиксированные - «плавающие» Дискретные - непрерывные 7

*** НАРАЩЕНИЕ ПО ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ Обозначения: I — проценты за весь срок ссуды; P — первоначальная сумма долга; S — наращенная сумма, или сумма в конце срока; i — ставка наращения (десятичная дробь); n — срок ссуды. Срок обычно измеряется в годах, соответственно i — годовая ставка. Каждый год приносит проценты в сумме Pi. Начисленные за весь срок проценты (accrued interest) составят I=Pni. Наращенная сумма, таким образом, находится как S = Р+ I = Р(1 + ni) — формула простых процентов, а множитель (1 + ni) - множитель наращения простых процентов. 8

ГРАФИК РОСТА ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ 9

ПРАКТИКА РАСЧЕТА ПРОЦЕНТОВ ДЛЯ КРАТКОСРОЧНЫХ ССУД* Выразим общий срок n в виде дроби: где t — число дней ссуды; K — число дней в году, или временная база (time basis). При расчете простых процентов предполагают, что K = 360 (12 месяцев по 30 дней) или K = 365, 366 дней. Если K = 360, то получают обыкновенные, или коммерческие, проценты (ordinary interest), a при использовании действительной продолжительности года (365, 366) получают точные проценты (exact interest). Число дней ссуды также можно измерить приближенно (число дней в месяце = 30 дней) и точно. * краткосрочные ссуды (на срок до одного года) 10

*** ВАРИАНТЫ РАСЧЕТА ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ: а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например в Великобритании. Обычно он обозначается как 365/365 или ACT/ACT; б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Banker's Rule), распространен в ссудных операциях коммерческих банков, в частности во Франции. Он обозначается как 365/360 или ACT/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если t = 364, то n = 364/360 = 1, 011; в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии. Этот метод обозначается как 360/360. Вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется. 11

*** ПОГАШЕНИЕ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ЧАСТЯМИ Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью последовательности частичных платежей. В этом случае надо решить вопрос о том, какую сумму надо брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности. Существуют два метода решения этой задачи: - актуарный метод (Actuarial Method); - правило торговца (Merchant's Rule). Если иное не оговорено, то, как правило, при начислении процентов используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней. 12

ДИСКОНТИРОВАНИЕ И УЧЕТ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т. е. непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount). «Дисконтирование" употребляется и в более широком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени. Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной величиной (present value) суммы S, a иногда, в зависимости от контекста, — современной (текущей, капитализированной) стоимостью. 13

*** МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ БАНКОВСКИЙ УЧЕТ (УЧЕТ ВЕКСЕЛЕЙ) P = S - Snd = S(1 -nd), n — срок ссуды в годах. Р - современная величина суммы S, которая будет выплачена спустя n лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным множителем. где d - учетная ставка, Snd - размер дисконта, или суммы учета, n — срок от момента учета до даты погашения векселя. (1 - nd) - дисконтный множитель. Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе K = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам 14

*** НАРАЩЕНИЕ ПО УЧЕТНОЙ СТАВКЕ 1/(1 - nd) - множитель наращения, n 1/d , иначе S. 15

*** СРОК ССУДЫ срок в годах срок в днях (n = t/K, где K — временная база) ВЕЛИЧИНА ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ где i – ставка наращения, d – учетная ставка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ПЛАТЕЖА И УРОВНЯ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК 16

*** НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ГОДОВЫХ ПРОЦЕНТОВ Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов. Обозначения: I — проценты за весь срок ссуды; P — первоначальная сумма долга; S — наращенная сумма, или сумма в конце срока; i — ставка наращения (десятичная дробь); n — срок ссуды. В конце n-го года наращенная сумма будет равна S = P(1+ i)n. Величину q = (1 + i)n называют множителем наращения по сложным процентам. 17

ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ НАРАЩЕНИЯ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ 18

*** ПЕРЕМЕННЫЕ СТАВКИ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ПРИ ДРОБНОМ ЧИСЛЕ ЛЕТ Общий метод: S = P(1+ i)n, где i 1, i 2, . . . , ik— последовательные во времени значения ставок; n 1, n 2, . . . , nk — периоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки. где n = t/K, K — временная база. Смешанный метод: S = P(1+ i)a(1 + bi), где а + b = n; а — целое число периодов; b — дробная часть периода. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ГОДОВЫХ ПРОЦЕНТОВ 19

РОСТ ПО СЛОЖНЫМ И ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ Соотношения множителей наращения: для срока меньше года простые проценты больше сложных: (1 + nis) > (1 + i)n; для срока больше года сложные проценты больше простых: (1 + nis) < (1 + i)n; наконец, для срока, равного году, множители наращения равны другу при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же. . 20

НАРАЩЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ M РАЗ В ГОДУ; НОМИНАЛЬНАЯ СТАВКА Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления в году равно т. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной (nominal rate). Формулу наращения теперь можно представить следующим образом: S = P(1 + j/m)N = P(1 + j/m)nm , где N — общее количество периодов начисления; j — номинальная годовая ставка (десятичная дробь). 21

*** ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА Действительная, или эффективная, ставка процента (effective rate) - это ставка, которая измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов, или Эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m. Обозначим эффективную ставку через i. откуда Как видим, эффективная ставка при т > 1 больше номинальной, при т = 1 i =j. 22

*** ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО СЛОЖНОЙ СТАВКЕ ПРОЦЕНТА где vn = (1 + i)-n - дисконтный множитель (discount factor). Для случаев, когда проценты начисляются т раз в году, получим: Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной величиной (present value), или современной стоимостью S. Современная стоимость может быть рассчитана на любой момент до выплаты суммы S. 23

НЕПРЕРЫВНОЕ НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ — НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ *** При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста (force of interest). Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени. Постоянная сила роста При дискретном начислении процентов т раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как S = Р(1 +j/m)mn. Чем больше т, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов. В пределе при т, стремящемся к бесконечности, имеем Известно, что , где е — основание натуральных логарифмов. Наращенная сумма находится как. Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, силу роста обычно обозначают как δ. Теперь окончательно запишем Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости между собой. Из равенства множителей наращения следует 24

*** НЕПРЕРЫВНОЕ НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ — НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ Переменная сила роста Пусть сила роста изменяется во времени, следуя определенному закону — непрерывной функции времени: , тогда наращенная сумма и современная стоимость определяются как Рассмотрим варианты определения множителя наращения для случаев, когда величина δt представляет собой линейную и экспоненциальную функцию. Если это линейная функция δt = δ 0 + at, где δ 0 — начальное значение силы роста, а — ее прирост, то Множитель наращения находится как 25

*** ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ПЛАТЕЖА При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j соответственно получим: При наращении по постоянной силе роста δ и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста . 26

*** ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ При наращении по сложной годовой ставке процентов и по номинальной ставке процента т раз в году находим При наращении по постоянной силе роста При наращении по изменяющейся с постоянным темпом силе роста . 27

ИНФЛЯЦИЯ Jnc - индекс, характеризующий изменение покупательной способности денег за некоторый период. Пусть S — наращенная сумма денег, измеренная по номиналу. Эта же сумма, но с учетом ее обесценения составит: C = S х Jnc. Индекс покупательной способности денег, как известно, равен обратной величине индекса цен: где Jp - индекс цен. Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции обычно понимается относительный прирост цен за период; обозначим его как H; измеряется он в процентах. Темп инфляции и индекс цен связаны следующим образом: H=100(Jp - 1). В свою очередь 28

ИНФЛЯЦИЯ Среднегодовые темп роста цен (ip ) и темп инфляции (h) находятся на основе величины Jp как: Поскольку инфляция является цепным процессом (цены в текущем периоде повышаются на ht процентов относительно уровня, сложившегося в предыдущем периоде), то индекс цен за несколько таких периодов равен произведению цепных индексов цен: Пусть теперь речь идет о будущем. Если h — постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за период, то за n таких периодов получим . 29