Космология Однородная Вселенная Фридмановская Вселенная с космологической постоянной

Космология. Однородная Вселенная Фридмановская Вселенная с космологической постоянной

Динамика однородной Вселенной 2

Система уравнений Фридмана 1. В уравнениях нет произвольных констант, т. е. при заданной топологии (κ = 0, ± 1) и Λ, эволюция происходит по определенному закону, зависящему от связи давления и плотности P(ρ) (уравнение состояния). 2. Космологическая постоянная Λ имеет размерность [Λ] = см-2. В безразмерной записи современные наблюдения указывают на значение ΩΛ ≈ 0. 7 откуда следует, что в современную эпоху «плотность энергии вакуума» (именно физический вакуум может играть роль положительной космологической постоянной с P = -ρc 2): 3

Плотность энергии вакуума не изменяется при адиабатическом расширении (εV = const: это немедленно следует из первого начала термодинамики d. E – Pd. V = 0 и P = -E/V для вакуума). Плотность энергии вакуума складывается из нулевых колебаний ħω/2 (волновое число k = 2π/λ) Для физически разумных масштабов энергии Великого объединения На 125 порядков величины больше наблюдаемого значения! Даже понижая масштаб энергий до физически проверенных в лаборатории масштабов энергии ~ 103 Гэ. В, остается колоссальная разница. Эта проблема наблюдаемой малости энергии вакуума (если интерпретировать наблюдения в терминах моделей с космологической постоянной) известна в физике как проблема космологической постоянной и пока не решена. 3. Уравнение движения можно переписать в виде уравнения движения точки на поверхности сферы радиуса R с массой M: Частица на сфере испытывает как действие силы притяжения полной массой M, так и силу отталкивания, которая вызвана положительной космологической постоянной и возрастает с расстоянием, но не зависит от 4 массы.

В теоретически допустимом случае отрицательной космологической постоянной появилась бы дополнительная сила «притяжения» , формально похожая на силу, обеспечивающую конфайнмент кварков в адронах. Космологическая постоянная динамически важна только на больших масштабных факторах. 5. Знак пространственной кривизны (т. е. гауссовой кривизны 3 -мерной гиперповерхности постоянного времени) не изменяется в ходе эволюции Вселенной, но величина ее зависит от времени. Топология определяется полной плотностью энергии, которая включает в себя плотность всех видов материи (видимой (барионной) и невидимой (небарионной)), имеющих положительное давление и являющихся источником гравитации, и плотность «невидимой энергии» (англ. «dark energy» – космологической постоянной или квинтэссенции) с отрицательным давлением, создающих антигравитацию в больших масштабах: возможный радиус кривизны больше нескольких Хаббловских радиусов 5

6. В случае Ωm + ΩΛ = 1 и P = 0 (пылевидная материя) существует аналитическое решение для роста масштабного фактора: Решение гладко переходит от степенного закона роста (a ~ t 2/3 – соответствует классическому хаббловскому расширению при ρ0 = ρcr, 0) к стадии экспоненциального расширения (a ~ exp((Λ/3)1/2 t)). Красное смещение zco, на котором происходит смена режима ускорения на замедление, находится по формуле Наблюдения далеких сверхновых типа Ia свидетельствуют в пользу плоской модели с ΩΛ ≈ 0. 7, т. е. красное смещение, начиная с которого Вселенная расширяется с ускорением, всего около zco ≈ 0. 6 ÷ 0. 7 приближенная оценка возраста (от начала расширения) по красному смещению 6

Вселенная с P = 0 и Λ = 0 Обратите внимание, что уравнение энергии суть интеграл уравнения движения. Это значит, что закон сохранения массы является следствием двух уравнений Фридмана. Полученный результат совпадает с результатом классического Ньютоновского подхода для расширяющейся однородной сферы. Это является следствием однородности Вселенной, что позволяет рассмотреть динамику малого объема (все части расширяются одинаково). Также в малом объеме геометрия становится плоской и можно пренебречь конечным временем распространения света. 7

Вселенная Эйнштейна – де Ситтера В текущую эпоху R 0 нормируется на 1, и уравнение для эволюции масштабного фактора можно решить, чтобы получить возраст Вселенной: 8

Пустая Вселенная 9

Вселенная с доминированием космологической постоянной (ρ = 0) За достаточно короткий промежуток времени Следовательно, довольно быстро после начала расширения пространство станет Евклидовым 10

Carroll, Press, Turner, 1992, ARAA, 30, 499 Модель Ωtot Ωm ΩΛ Примечание A 1 1 0 Плоская, материя доминирует B 0. 1 0 Открытая, небольшое кол-во материи C 1 0. 9 Плоская, Λ и небольшое кол-во материи D 0. 01 0 Открытая, минимум материи E 1 0. 01 0. 99 Плоская, Λ и минимум материи 11

Эволюция физических свойств 12

Красное смещение Пусть есть источник с пространственными координатами (r, θ, φ) = const, который излучает два сигнала в моменты te и te + τe, и эти сигналы фиксируются наблюдателем с координатами (r 0, θ 0, φ0) = const в моменты t 0 и t 0 + τ0. Распространение сигнала описывается интервалом ds 2 = 0, что для метрики Робертсона. Уокера дает Интегрируя по траектории оба сигнала, получим 13

Пределы интегрирования можно переписать в следующем виде: Для малых промежутков времени τe и τ0 можно считать R(t) ≈ const Выбирая τ кратным длине волны (λ = сτ), получим окончательно 14

Аналогично для энергии квантов, температуры, давления, длины волны (в т. ч. де Бройлевской) Интерпретируя красное смещение как результат эффекта Доплера, для нерелятивистских скоростей (малые z) Хаббловская зависимость для малых z может быть записана в виде: Интервал dt(z) собственного времени (т. е. времени, измеренного по сопутствующим часам) на красном смещении z измеряется наблюдателем как интервал dt(z = 0) = dt 0: Из-за расширения Вселенной время, измеренное по часам сегодняшнего наблюдателя, в прошлом течет «быстрее» . Зависимости наблюдаемых величин (например, красного смещения от расстояния) становятся нелинейными на больших расстояниях и требуют уточнения параметров космологической модели (полная плотность вещества Ω 0, величина космологической постоянной и т. д. ). 15

Связь времени распространения света до наблюдателя, находящегося по определению в точке с z = 0, с расстояний, соответствующих красному смещению z, находится из соотношения для интервала времени (см. на предыд. стр. ) и во Фридмановских моделях без космологической постоянной осуществляется по формуле: Зависимость времени от красного смещения, таким образом, сильно нелинейная. Интегрирование этого уравнения по z в пределах от 0 до +∞ дает полное время t. H (называемое также Хаббловским временем), прошедшее с момента начала Фридмановского расширения. Для плоского мира без космологической постоянной, например, t. H = 2/3 H 0 -1 В плоской Вселенной Ω 0 = 1 без космологической постоянной объекту на красном смещении z соответствует время с момента начала расширения Для z = 3 получаем t(3) = t. H/8, т. е. такие объекты образовались ~ 7/8. 1010 лет назад. Максимальное красное смещение галактик, измеренное по линиям в их спектрах, порядка 5. Фотометрически измеренное красное смещение некоторых галактик, обнаруженных в 1998 г. при глубоком обзоре неба с борта космического телескопа Хаббла, около 10. 16

Горизонт С каких расстояний можно в принципе принимать информацию в расширяющейся Вселенной, иными словами, каков размер причинно-связанной области во Вселенной? Горизонт событий определяется как поверхность сферы, образованной совокупностью частиц, испустивших свет в момент времени t = 0, который принимается наблюдателем в момент времени t. Для света d. S 2 = 0 поставлен знак минус т. к. луч распространяется от периферии к центру Пример. Плоский мир, Ω 0 = 1, пылевая стадия, P = 0, a(t) ~ t 2/3. Физический размер горизонта в современную эпоху lh = rha 0 = 2 c/H 0. На радиационно-доминированной стадии P = ε/3, a(t) ~ t 1/2, lh = c/H 0. Во фридмановской космологии горизонт всегда растет линейно со временем lh ~ t, в то время как масштабный фактор растет медленнее (из-за замедляющего действия гравитации): a(t) ~ t 1 -α, 0 < α < 1, и любая точка в расширяющейся Вселенной оказывается под горизонтом, т. е. в причинно-связанной области. Уходя в прошлое замечаем, что масштабный фактор в некоторый момент растет быстрее горизонта (в пределе t → 0, da/dt ~ t-α → ∞). Это приводит к одному из парадоксов классической космологии, который решается в модели инфляционной Вселенной 17

Собственная светимость и наблюденный поток Задача: связать собственную светимость объекта на красном смещении z и принятый наблюдателем поток. Распространение света описывается интервалом d. S 2 = 0 Излучающий объект расположен в точке с сопутствующими координатами r 1 и испускает свет в момент t 1. Для небольших расстояний a(t) можно разложить в ряд: 18

В результате интегрирования получаем: современное расстояние до объекта, излучившего свет на красном смещении z, т. е. когда Вселенная была на фактор (1 + z) меньше. При расчете наблюденного потока, необходимо учесть следующие эффекты: § интервал времени Δt 1 (промежуток между соседними максимами напряженности поля в излученной ЭМ-волне) для наблюдателя переходит в интервал Δt 0 = Δt 1 a 0/a(t 1) вследствие красного смещения (растяжение времени) § энергия каждого фотона уменьшается на фактор (1 + z) § поток фотонов распределяется по поверхности 4πx 12 = 4πa 02 r 12 Тогда, наблюденный поток l от источника с собственной светимостью L на красном смещении z оценивается как 19

Фотометрическое расстояние Для источника с известной светимостью L измеренный поток l. В таком случае, фотометрическое расстояние определяется как Для определения параметра замедления используются «стандартные свечи» (SNIa) и зависимость фотометрического расстояния от красного смещения. Для определения q 0 нет необходимости в знании M и h 0 с высокой точностью, но M должна быть константой. Для малых z: m ~ log 10 z. Для больших z кривая зависимости уходит вверх, что позволяет оценить q 0. 20

Зная параметр замедления можно оценить величину космологической постоянной 21

Физические и угловые размеры объекта. «Угловое» расстояние Угловой диаметр источника δ с физическим диаметром D на красном смещении z определяется через расстояние между источником и наблюдателем на момент времени t 1 испускания сигнала: 22

Поверхностная яркость и парадокс Ольберса В Ньютоновской, нерасширяющейся Вселенной, поверхностная яркость объектов не зависит от расстояния. В расширяющейся Фридмановской Вселенной поверхностную яркость источника можно определить как поток излучения, принимаемый детектором от всего источника, отнесенный к телесному углу, который занимает источник на небе. Для круглого источника с постоянной поверхностной яркостью: Поверхностная яркость не зависит от q 0, и следовательно не зависит от динамической эволюции Вселенной 23

Важное практическое применение зависимости для поверхностной яркости состоит в объяснении знаменитого парадокса Ольберса (XIX в), согласно которому в бесконечной Вселенной, заполненной звездами, рано или поздно должен наступить момент, когда все небо полностью перекрывается дисками звезд. Это противоречит известному факту, что ночью небо темное. Разрешение этого парадокса в рамках модели расширяющейся Вселенной тривиально – свечения неба не наступает из-за значительного ослабления интенсивности с красным смещением. К тому же звезд и галактик не было на больших красных смещениях (первые звезды образовались из-за гравитационной неустойчивости при z < 10), и перекрытия неба дисками звезд тоже нет 24

Определение космологической постоянной 25

Для определения, расширяется ли Вселенная с замедлением или ускорением (проверка реальности и величины космологической постоянной) используются «стандартные свечи» – сверхновые типа Ia. Для них хорошо известна зависимость между характерным временем спада интенсивности и максимальной светимостью, что позволяет корректировать полученные абсолютные величины. до коррекции после коррекции 26

Определение космологической постоянной 27

Разница в модулях расстояния известных космологических сверхновых Ia в различных космологических моделях относительно модели линейно однородно расширяющейся Вселенной ( «пустая Вселенная» с Ω = 0)(горизонтальная линия). До красных смещений z = 1 индивидуальные сверхновые усреднены. Для каждой модели отмечена точка (черная точка), в которой ускорение сменяется замедлением. Свет от самой далекой SN 1997 ff был испущен в тот момент, когда Вселенная расширялась с замедлением. [Из работы A. Riess et al. 2001, astro-ph/0104455] 28

SN 1997 ff Стрелка указывает на положение хост-галактики 29

Определение космологических параметров 30