Королев А Л Компьютерное моделирование Имитационное моделирование

Королев А. Л. Компьютерное моделирование Имитационное моделирование.

Имитационное моделирование. Королев А. Л. Имитационное моделирование – исключительно компьютерное моделирование – исследование свойств объекта путем экспериментирования с его компьютерной моделью. Особо актуально при моделировании сложных технических систем, при отсутствии математической модели системы или объекта, необходимостью получения результатов моделирования к определенному сроку, необходимостью моделировать действие случайных факторов. Область применения имитационного моделирования: Моделирование систем и сложных систем; Стохастическое моделирование; Алгоритмическое моделирование; Моделирование систем массового обслуживания.

Имитационное моделирование. Королев А. Л. Моделирование систем. Модель системы отражает взаимодействие между элементами системы и взаимодействие всей системы с окружающей средой. Модели систем строятся по блочно-иерархическому принципу: используются модели элементов, модели подсистем и т. д. Моделируются общесистемные процессы. При моделировании сложных систем процессы в элементах системы не рассматриваются. Модели элементов строятся формально, отображают связь между выходом и входом - модели типа «черный ящик» .

Имитационное моделирование. Королев А. Л. Модели элементов строятся по принципу «черный ящик» вследствие необходимости получить информацию о свойствах системы при оптимальном уровне затрат на проведение экспериментов. Модель «черный ящик» - это формальная математическая зависимость между входным воздействием X и реакцией элемента Y. X Y Y=F(X)

Имитационное моделирование. Королев А. Л. Модели типа «черный ящик» получаются методами математической статистики (метод регрессионного анализа). Пусть для некоторого объекта проведена серия экспериментов, в которых для разных значений входного параметра х путем измерений установлены соответствующие значения выходного параметра у. Результаты экспериментов представлены в таблице: X X 1 X 2 … Xn Y Y 1 Y 2 … Yn

Имитационное моделирование. Королев А. Л. Алгоритм построения регрессионной модели. Выбирается класс функций (линейная, многочлен, логарифмическая и т. п. ), на основе которого может быть построена зависимость между х и у. Методом наименьших квадратов определяются параметры функции: Поверяется достоверность полученной модели на основе коэффициента детерминации:

Имитационное моделирование. Королев А. Л. Одна из областей применения регрессионных моделей: Математическая модель объекта построена, но не все параметры модели можно определить прямыми измерениями, однако объект хорошо наблюдаем при испытаниях и в экспериментах. В экспериментах можно получить данные о свойствах, по которым определить (идентифицировать) параметры модели.

Имитационное моделирование. Королев А. Л.

Имитационное моделирование. Королев А. Л. Алгоритмическое моделирование – это моделирование функционирования объектов на основе алгоритма их работы. Пример алгоритмической модели – клеточные автоматы. Задается алгоритм смены состояний для каждой клетки (например, закрашенный/не закрашенный), задается ряд правил. Особенность: результат имеет абсолютно точный характер.

Области применения клеточных автоматов Применяются для моделирования систем, в которых важную роль играет пространственное взаимодействие между элементами: - системы телекоммуникации; - анализ явлений переноса в физике (теплопроводность, диффузия, вязкость); - модели распространения вирусов, микроорганизмов; - металлургия; - и др.

Королев А. Л. Компьютерное моделирование Стохастическое моделирование

Стохастическое моделирование. Королев А. Л. Особенность стохастического моделирования: Многократное повторение модельных экспериментов с целью получения статистики о свойствах системы. В результате стохастического моделирования для параметров объекта должна быть получена оценка математического ожидания, дисперсии и закона распределения случайной величины. Вероятность – частота проявления события в N испытаниях, при N → ∞: P=m/N, m – количество реализаций события. Пусть Pa – вероятность события А, 0≤ Pa≤ 1. Если событие А не произошло, то противоположное событие не. А : произошло

Стохастическое моделирование. Королев А. Л. Результат стохастического моделирования

Стохастическое моделирование. Королев А. Л. Моделирование случайного события. Требуется построить модель события А, которое происходит с вероятностью Pa. Используется датчик случайных чисел с равномерным законом распределения: Randomize (Rnd) → Xi. 0<=Xi<=1. Если Rnd дает значение Xi<= Pa. , то событие А произошло, в противном случае произошло событие не. А. 0 Pa 1 х

Стохастическое моделирование. Королев А. Л. Моделирование полной группы событий. Группа несовместных событий называется полной, если при испытаниях только одно событие произойдет обязательно. Пусть имеются события А, В, С, которые происходят с вероятностями РА, РВ, РС события образуют полную группу:

Стохастическое моделирование. Королев А. Л. Алгоритм моделирования: 1. 2. 3. 4. Rnd → Xi 0 ≤ Xi ≤ PA – произошло событие А; PA< Xi ≤ PA+PB – произошло событие B; PA+PB < Xi ≤ 1 – произошло событие C.

Стохастическое моделирование. Королев А. Л. Моделирование совместных событий. Заданы два события А и В с вероятностями РА и РВ. События могут происходить совместно, но независимы. Существует 4 варианта реализации событий, они образуют полную группу: Вероятность реализации комбинаций: РА РВ РА(1 -РВ) РВ(1 -РА)(1 -РВ). Задача сводится к моделированию полной группы событий.

Стохастическое моделирование. Королев А. Л. Моделирование состояния автомобиля P 0 – вероятность исправности в начальный момент; P 1 – вероятность поломки автомобиля; P 2 – вероятность возврата к работе через сутки.

Стохастическое моделирование. Королев А. Л. Результаты моделирование состояния автомобиля

Королев А. Л. Компьютерное моделирование Построение моделей на основе корреляционного анализа

Корреляционный анализ и построение моделей. Королев А. Л. Пусть исходная информация о свойствах объекта, полученная в ходе экспериментов, представлена таблицей. Здесь - y зависимый параметр, а xi -факторы, определяющие, по мнению исследователя, свойства объекта, т. е. значение параметра y. Задача корреляционного анализа – выявление значимых факторов, которые определяют свойства объекта. Выявление и исключение малозначимых и взаимозависимых факторов. X 1 X 2 …. Xn Y …. …. ….

Корреляционный анализ. Королев А. Л. Анализ выполняется с использованием корреляционной функции Rxy (КОРРЕЛ). Корреляционная функция устанавливает факт наличия взаимозависимости между двумя случайными величинами. Может принимать значение в пределах [-1; 1]. Rxy=0, то связи между случайными величинами не существует. Rxy=1(-1) – жесткая детерминированная связь между x и y.

Корреляционный анализ. Королев А. Л. На основе таблицы экспериментальных данных строится корреляционная матрица. x 1 x 2 … xn y 1 Rx 1 x 2 … Rx 1 xn Rx 1 y 1 … Rx 2 xn Rx 2 y 1 … … 1 Rxny 1

Корреляционный анализ. Королев А. Л. Алгоритм корреляционного анализа: Заполнение корреляционной матрицы. Выявление малозначимых факторов. Если |Rxiyj|≤|0, 3| - фактор xi слабо влияет на y и его можно исключить. Выявление взаимосвязанных факторов. Если |Rxixj|≥|0, 7|, то xi и xj взаимосвязаны и следует исключить один из факторов. В результате проделанного анализа размерность модели (число факторов) существенно снижается.

Корреляционный анализ. Королев А. Л. Исходная таблица экспериментальных данных.

Корреляционный анализ. Королев А. Л. Пример корреляционной матрицы.

Королев А. Л. Компьютерное моделирование Планирование эксперимента.

Планирование эксперимента. Королев А. Л. Планирование эксперимента необходимо в тех случаях, когда свойства изучаемого объекта зависят от большого количества факторов, т. е. в тех случаях, когда невозможен однофакторный эксперимент. Цель – сократить количество экспериментов до минимума и при этом получить результаты достаточные для построения регрессионной модели. Пусть некоторое свойство объекта y=f(x 1, x 2, …, xn) зависит от ряда факторов: x 1, x 2, …, xn. Модель строится в виде зависимости: y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 23 x 2 x 3+b 13 x 1 x 3+b 123 x 1 x 2 x 3

Планирование эксперимента. Королев А. Л. Суть полного факторного эксперимента (ПФЭ), заключается в том, что все факторы варьируются в эксперименте одновременно. Для исследования влияния k факторов на m уровнях, требуется выполнить mk опытов. В теории планирования эксперимента доказано, что при выборе зависимости, включающей только линейные члены и произведения, то в эксперименте достаточно использовать для каждого фактора только два варианта значений, если К=3 (число факторов), то для определения всех параметров достаточно провести 23 экспериментов:

Планирование эксперимента. Королев А. Л. При проведении экспериментов все факторы изменяются одновременно. Представим факторы в безразмерном виде: xi – фактор, xi 0 – базовая точка (значение), Δxi – шаг вариации Вместо xi будем использовать безразмерные значения:

Планирование эксперимента. Королев А. Л. y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 23 x 2 x 3+b 13 x 1 x 3+b 123 x 1 x 2 x 3 Матрица планирования эксперимента n x 0 x 1 x 2 x 3 x 12 x 13 x 23 x 123 y 1 1 1 1 1 y 1 2 1 1 -1 -1 y 2 3 1 -1 1 1 -1 -1 y 3 4 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 y 4 … … … … … 8 1 -1 -1 -1 y 8

Планирование эксперимента. Королев А. Л. Расчетные формулы для коэффициентов модели ПФЭ:

Королев А. Л. Компьютерное моделирование Моделирование СМО.

Моделирование СМО. Королев А. Л.

Примеры систем массового обслуживания СМО Заявки Каналы Автобусный маршрут и перевозка пассажиров Пассажиры Автобусы Производственный конвейер по обработке деталей Детали, узлы Станки, склады Влетающая на чужую территорию Самолеты эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО Зенитные орудия, радары, стрелки, снаряды Ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны Патроны Ствол, рожок Электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве Заряды Каскады технического устройства

Моделирование СМО. Королев А. Л. Основные компоненты и параметры СМО Источник заявок. Мощность источника заявок. Заявка на обслуживание. Интервал времени между поступлением заявок. Длина очереди. Дисциплина очереди. Поведение клиента в очереди. Время обслуживания заявки. Количество устройств обслуживания. Поток обслуженных заявок.

Моделирование СМО. Королев А. Л. Этапы имитационного моделирования системы массового обслуживания: 1. Генерация случайных величин с равномерным законом распределения xi. 2. Преобразование в случайные величины с необходимым законом распределения i. 3. Определение моментов времени поступления заявок на обслуживание, времени обслуживания, потока обслуженных заявок; 4. Моделирование функционирования системы в целом с накоплением статистических данных о процессе обслуживания; 5. Определение показателей качества функционирования системы путем обработки результатов моделирования.

Моделирование СМО. Королев А. Л. Цель исследования системы массового обслуживания - выбор оптимальных параметров системы по некоторому критерию. При моделировании СМО определяются: n. Вероятность отказа в обслуживании; n. Среднее время ожидания в очереди; n. Средняя длина очереди; n. Оптимальное количество узлов обслуживания и т. п. n. Рассмотрение процесса обслуживания отдельно взятой заявки не представляет интереса.