Конус Определение конуса Конус тело полученное

Конус

Определение конуса Конус – тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет. S- вершина конуса, круг с центром О – основание конуса Отрезок SA=L образующая. Отрезок OA=R – радиус основания. Отрезок BC=2 R – диаметр основания.

Сечение конуса Определение: сечением конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением конуса. 1. Секущая плоскость проходит через ось конуса (осевое сечение – равнобедренный треугольник рис. 1) Треугольник SAB-осевое сечение Угол ASB – угол при вершине осевого сечения Угол SAO – угол наклона образующей к плоскости основания

Секущая плоскость проходит перпендикулярно к оси конуса - круг с центром О 1 (рис. 2)

3. Сечение проходящее через вершину конуса – равнобедренный треугольник (рис. 3)

4. Параболическое и гиперболическое сечения. (рис. 4 )

Касательная плоскость к конусу Определение: Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно сечению, проведенному через эту образующую

Площадь поверхности цилиндра 1. Пусть цилиндр получен при вращении прямоугольника ABCD вокруг прямой CD. За площадь боковой поверхности цилиндра принимается предел отношения приращения объема цилиндра к приращению радиуса, когда приращение радиуса стремится к нулю: △R D B B 1 H C R A A 1

Площадь поверхности конуса Пусть конус получен при вращении прямоугольного треугольника ABO (∠AOB=90) вокруг прямой AO За площадь боковой поверхности конуса принимается предел отношения приращения объема к приращению наибольшей нормали образующей конуса, когда приращение этой нормали стремится к нулю: Sбок = πRL A △p H L R Φ O C A 1 Φ B B 1

Площадь поверхности шарового сегмента За площадь сегментальной поверхности принимается предел отношения приращения объема шарового сектора, соответствующего этой сегментной поверхности, к приращению радиуса, когда приращение радиуса стремится к нулю: A 1 A H N O B B 1 M 1 Φ R M

Объем конуса Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H:

Свойства параллельных сечений конуса Теорема: Если конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, то: 1) Все образующие и высоты конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) В сечении получается круг, подобный основанию; 3) Площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины

P F 1 α O 1 X 1 β F O X

Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды Определение: Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды

Определение: Пирамида называется описанной около конуса, если у них вершина общая, а основание пирамиды описано около основания конуса. В этом случае конус называют вписанным в пирамиду.

Усеченный конус Усеченный конус – часть конуса, заключенная между основанием и параллельным основанию сечением конуса. Круги с центрами О 1 и О 2 – верхнее и нижнее основания усеченного конуса, R r – радиусы оснований, АВ= L образующая , α угол наклона образующей и плоскости нижнего основания. Отрезок О 1 О 2 -высота. Трапеция АВСD – осевое сечение.

Теорема: Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую S=π (r 1+ r 2) l

Площадь полной поверхности усеченного конуса находится по формуле: S=π (r 12+(r 1+ r 2) l+ r 22)

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: