Контрольные вопросы по теме Системы счисления СС 1

Контрольные вопросы по теме: Системы счисления (СС) 1. Что называется системой счисления? 2. Типы систем счисления. 3. Что называется основанием системы счисления? 4. Какие системы счисления применяются в компьютере для представления информации? 5. Правила перевода чисел из одной СС в другую. 6. Правила выполнения перевода из прямого в обратный и обратный дополнительный код. 7. Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 444 – 4 сотни, 4 десятка, 4 –единицы, 400 – ноли нужны для обозначения позиции числа 4

Система счисления это способ представления любого числа с помощью алфавита символов, называемых цифрами. Основание системы счисления это количество символов в ее алфавите (количество цифр, необходимых для записи числа в системе). Алфавит 2 -ой с. с. : 0 1 8 -ой с. с. : 0 1 2 3 4 5 6 7 10 -ой с. с. : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 -ой с. с. : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 11102, 2458, 5910, А 17816

Типы систем счисления Позиционная значение каждой цифры определяется ее позицией в записи числа; S - основание системы счисления; А - цифры числа, записанного в данной системе счисления; n - количество разрядов числа. Непозиционная значение цифры не зависит от ее места в записи числа. (в римской системе счисления: I – один, X – десять, C – сто, M – тысяча и их половины: V – пять, L – пятьдесят, D – пятьсот)

Запись чисел в римской системе счисления:

пример: - Позиционная система счисления 256 > 143 , т. к. 2 >1 - Непозиционные системы счисления IX > VI , несмотря на то, что I < V

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ (decimal)

Двоичная система счисления (binary) Основание этой системы счисления равно двум. Используется две цифры - 0 и 1 Примеры записи двоичного числа: 4610=1011102 510=1012 Недостатки двоичной системы счисления большое количество разрядов, требующихся для записи чисел. Преимущество - простота выполнения арифметических действий.

Триггеры служат основой для построения регистров, счетчиков и других элементов, обладающих функцией хранения.

Восьмеричная система счисления (octal) Основание этой системы счисления = 8. Используются цифры - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Пример записи восьмеричного числа: A 8=1258=1*82+2*81+5*80 =6410+1610+510= 8510

Шестнадцатеричная система счисления (hexadecimal) Основание этой системы счисления = 16. В качестве цифр в шестнадцатеричной системе используются символы – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

10 -ая 2 -ая 8 -ая 16 -ая 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 000 001 010 011 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (степень) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 11100102=1 26+1 25+1 24+0 23+0 22 +1 21+0 20=11410

n (степень) 0 1 2 3 4 5 6 1 8 64 512 4096 32768 262144 1628=1 82 +6 81+2 80=11410

n (степень) 0 1 2 3 4 1 16 256 4096 65536 5 6 1048576 16777216 A 216=10 161+2 160 =160+2=16210

Из 10 -ой в 2 -ую необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. 22: 2=11 11: 2= 5 5: 2= 2 2: 2= 1 1: 2= 0 2210=101102 (0) (1)

Из 10 -ой в 8 -ую необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. 571: 8=71 71: 8= 8 8: 8= 1 1: 8= 0 57110=10738 (3) (7) (0) (1)

Из 10 -ой в 16 -ую необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. 7467: 16=466 466: 16= 29 29: 16= 1 1: 16= 0 (11) (2) (13) (1) 746710=1 13 2 1116=1 D 2 B 16

Из 2 -ой в 8 -ую разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда и каждую триаду заменить соответствующей 8 -ой цифрой. 10010112= 001. 011. = 1138 Из 2 -ой в 16 -ую разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда и каждую тетраду заменить соответствующей 16 -ой цифрой. 10111000112=0010. 1110. 0011. =2. 14. 3. = =2 E 38

Из 8 -ой в 2 -ую каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой. 5318=101 011 0012 Из 16 -ой в 2 -ую каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой. EE 816=1110 10002

Из 8 -ой в 16 -ую и обратно необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему. FEA 16=1111 1110 10102 111 101 0102=77528

Коды чисел Использование кодов позволяет свести вычитание чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел. Коды чисел: • прямой, • обратный , • дополнительный.

Прямой код Cовпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1. Знаковым разрядом является крайний разряд в разрядной сетке. В случае, когда для записи кода выделен один байт: для числа +1101 прямой код 0, 0001101, для числа -1101 прямой код 1, 0001101.

Обратный код Для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица. Для числа +1101 прямой код 0, 0001101; обратный код 0, 0001101. Для числа -1101 прямой код 1, 0001101; обратный код 1, 1110010.

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для числа +1101: Прямой код Обратный код 0, 0001101 Дополнительный код 0, 0001101 Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы. Для числа -1101: Прямой код Обратный код Дополнительный код 1, 0001101 1, 1110010 1, 1110011

Основные понятия математической логики

Контрольные вопросы по теме: Основные понятия математической логики 1. Высказывание. Типы высказываний. 2. Составляющие логического выражения. 3. Отрицание, таблица истинности отрицания. 4. Конъюнкция, таблица истинности. 5. Дизъюнкция, таблица истинности. 6. Импликация, таблица истинности. 7. Эквиваленция, таблица истинности. 8. Приоритет логических операций. 9. Система аксиом, законы алгебры логики. 10. Обозначение логических элементов.

АРИСТОТЕЛЬ (384 -322 до н. э. ) Древнегреческий философ. Основоположник формальной логики.

ЛЕЙБНИЦ Готфрид Вильгельм (1646 — 1716) Немецкий математик, физик и философ. Заложил основы математической логики.

ДЖОРДЖ БУЛЬ (1815 — 1864) Английский математик и логик. Сегодня идеи Буля используются во всех современных цифровых устройствах.

Логическое высказывание повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Истина=1 Ложь=0 А: «дважды два равно четырем» истинно А=1, В: «три больше пяти» всегда есть ЛОЖЬ В=0.

Типы высказываний: Простое – никакая его часть сама не является высказыванием. Составное (сложное) – состоит из простых высказываний.

Составляющие логического высказывания Субъект, S понятие о предмете мысли Предикат, P понятие о свойствах и отношениях предмета мысли. Субъект и предикат - термины суждения. Связка отношения между субъектом и предикатом (выражается «есть» , «не есть» , «является» , «состоит» и т. д. ) «Компьютер состоит из процессора, памяти и внешних устройств»

Логические операции: • • • Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Строгая дизъюнкция Импликация Эквиваленция

Отрицание (NOT, не верно, что) Обозначения: ¬А; Ā Инверсия высказывания истинна, высказывание ложно, и ложна, высказывание истинно. когда Таблица истинности А= {Аристотель основоположник логики. } А Ā Ā = {Неверно, что Аристотель 0 1 основоположник логики. } 1 0

Конъюнкция (AND, и, но, а, однако ) Обозначения: А·В; АΛВ; А&В Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. Таблица истинности А В С=А&В 0 0 1 1 1 А= «высота шкафа меньше высоты двери» В= «ширина шкафа меньше ширины двери» А&В = «шкаф можно внести в дверь, если ширина шкафа меньше ширины двери И высота шкафа меньше высоты двери»

Дизъюнкция (OR, или, либо) Обозначение: А v В Дизъюнкция двух высказываний истинна тогда, когда хотя бы одно высказывание истинно и ложна, когда оба высказывания ложны. Таблица истинности А В С=A v В 0 0 1 1 1 0 1 1 Вечером я смотрю телевизор или пью чай.

Строгая дизъюнкция (XOR, или…или, либо…либо) Обозначение: А В, А v В Строгая дизъюнкция двух высказываний истинна тогда, когда только одно из высказываний истинно. Таблица истинности А В С= А 0 0 1 1 0 В Данное существительное или во множественном или единственном числе.

Импликация (если-то, следует) Обозначения: А→В, А=>В. Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Таблица истинности А В С=А→В 0 0 1 1 1 Если идет дождь, то на небе тучи. А= идет дождь - посылка В= на небе тучи - заключение

Эквиваленция (тождественно, равносильно) Обозначение: А=В; А<->В; А~В Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Таблица истинности А В С=А~В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 А={Угол прямой}; В={Угол равен 900} А<->В={Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900}

С = (( A v В) -> В) v А Приоритет операций: • • • операции в скобках; отрицание; конъюнкция и дизъюнкция (слева направо); импликация; эквиваленция.

В зале № 1 идет лекция по психологии или философии. У пациента ушиб или растяжение. Аня отличница, но плохая спортсменка. Если пожелтели листья, то пришла осень. Чтобы перейти на следующий курс достаточно сдать сессию на тройки.

Система аксиом, законы алгебры логики. • • • x = 0, если x 1. x = 1, если x 0. 1 1=1 0 0=0 0 1=1 0 0=0 1 1=1 1 0=0 1=0

С помощью аксиом можно получить ряд тождеств:

законы алгебры логики: • переместительный (или коммутативный) • сочетательный (или ассоциативный)

• распределительный (или дистрибутивный) двойственности (или де Моргана) двойного отрицания

• поглощения склеивания

Схема НЕ (инвертор)

Схема И-НЕ

Схема ИЛИ-НЕ

Спасибо за внимание!