Контрольные вопросы по теме: 1. Логика и её основоположники. 2. Высказывание. Типы высказываний. 3. Составляющие логического выражения. 4. Отрицание, таблица истинности отрицания. 5. Конъюнкция, таблица истинности. 6. Дизъюнкция, таблица истинности. 7. Импликация, таблица истинности. 8. Эквиваленция, таблица истинности. 9. Приоритет логических операций. 10. Система аксиом, законы алгебры логики. 11. Обозначение логических элементов. 12. Алгоритм построения таблиц истинности.
Логика — это наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний.
АРИСТОТЕЛЬ (384 -322 до н. э. ) Древнегреческий философ. Основоположник формальной логики.
ЛЕЙБНИЦ Готфрид Вильгельм (1646 — 1716) Немецкий математик, физик и философ. Заложил основы математической логики.
ДЖОРДЖ БУЛЬ (1815 — 1864) Английский математик и логик. Сегодня идеи Буля используются во всех современных цифровых устройствах.
Логическое высказывание - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Истина=1 Ложь=0 А: «дважды два равно четырем» истинно А=1, В: «три больше пяти» всегда есть ЛОЖЬ В=0.
Типы высказываний: Простое – никакая его часть сама не является высказыванием. Составное (сложное) – состоит из простых высказываний, связанных между собой логическими операциями.
Логическое выражение – это простое или сложное высказывание.
Составляющие высказываний: • Субъект (S) • Предикат (Р) • Связка • Квантор
Составляющие логического высказывания Субъект, S понятие о предмете мысли Предикат, P понятие о свойствах и отношениях предмета мысли. Субъект и предикат - термины суждения. Связка отношения между субъектом и предикатом (выражается «есть» , «не есть» , «является» , «состоит» и т. д. ) Квантор указывает, относится ли суждение ко всему или к части объема понятия, выражающего субъект ( «все» , «некоторые» , «многие» , «ни один» , и т. п. ).
«Все компьютеры состоят из процессора, памяти и внешних устройств» «компьютеры» - субъект, «процессора, памяти и внешних устройств» - предикат, «состоят» - связка, «все» - квантор.
Логические операции: • • • Отрицание (инверсия) Конъюнкция Дизъюнкция Строгая дизъюнкция Импликация Эквиваленция
Отрицание (NOT, не верно, что) Обозначения: ¬А; Ā Инверсия высказывания истинна, высказывание ложно, и ложна, высказывание истинно. когда Таблица истинности А= {Завтра будет снег. } Ā = {Завтра НЕ будет снега. } А Ā 0 1 1 0
Конъюнкция (AND, и, но, а, однако ) Обозначения: А·В; АΛВ; А&В Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. Таблица истинности А В С=А&В 0 0 1 1 1 А= «высота шкафа меньше высоты двери» В= «ширина шкафа меньше ширины двери» А&В = «шкаф можно внести в дверь, если ширина шкафа меньше ширины двери И высота шкафа меньше высоты двери»
Дизъюнкция (OR, или, либо) Обозначение: А v В Дизъюнкция двух высказываний истинна тогда, когда хотя бы одно высказывание истинно и ложна, когда оба высказывания ложны. Таблица истинности А В С=A v В 0 0 1 1 1 0 1 1 Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай.
Строгая дизъюнкция (XOR, или…или, либо…либо) Обозначение: А В, А v В Строгая дизъюнкция двух высказываний истинна тогда, когда только одно из высказываний истинно. Таблица истинности А В С= А 0 0 1 1 0 В Данное существительное или во множественном или единственном числе.
Импликация (если-то, следует) Обозначения: А→В, А=>В. Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Таблица истинности А В С=А→В 0 0 1 1 1 Если идет дождь, то на небе тучи. А= идет дождь - посылка В= на небе тучи - заключение
Эквиваленция (тождественно, равносильно) Обозначение: А=В; А<->В; А~В Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Таблица истинности А В С=А~В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 А={Угол прямой}; В={Угол равен 900} А<->В={Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900}
С = (¬( A v В) → В) ^ А Приоритет операций: • • • операции в скобках; отрицание; конъюнкция и дизъюнкция (слева направо); импликация; эквиваленция.
В естественном языке В логике …………. и…………. однако……… …………. но………… конъюнкция …………. а…………. …. неверно, что…. ………. или………. либо………либо…. . инверсия дизъюнкция строгая дизъюнкция если……, то…. . из……следует…. . импликация ……влечет…. . …необходимо и достаточно… ……равносильно…. . …в том и только в том случае… эквивалентность
Неверно, что в зале № 1 идет лекция по психологии. Число 123 либо четное, либо нечетное, третьего не дано. Аня отличница, но плохая спортсменка. Если пожелтели листья, то пришла осень. Чтобы перейти на следующий курс достаточно сдать сессию на тройки.
Система аксиом, законы алгебры логики. x = 0, если x 1. x = 1, если x 0. 1 1=1 0 0=0 0 1=1 0 0=0 1 1=1 1 0=0 1=0
С помощью аксиом можно получить ряд тождеств:
законы алгебры логики: • переместительный (или коммутативный) • сочетательный (или ассоциативный)
• распределительный (или дистрибутивный) двойственности (или де Моргана) двойного отрицания
• поглощения склеивания
Схема НЕ (инвертор)
Схема И-НЕ
Схема ИЛИ-НЕ
Алгоритм построения таблиц истинности: 1. 2. 3. 4. Определить количество переменных. Определить количество логических операций и последовательность их выполнения. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности. Определить количество строк (К) таблицы по формуле к=2 n , где n - количество переменных.
Спасибо за внимание!