Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной итоговой

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации С 2 Подготовка к ЕГЭ Учитель математики МБОУ «СОШ № 78» ЗАТО СЕВЕРСК Якимович Наталия Михайловна МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой BC 1 и плоскостью A 1 BC, если AA 1 = 12, AB = 6, BC = 5. D 1 С 1 А 1 6 6 накло нная B 1 N 5 5 кция к и прое п о 13 D a 5 A 6 B МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования» C Угол между наклонной и плоскостью – это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой BC 1 и плоскостью A 1 BC, если AA 1 = 12, AB = 6, BC = 5. Найдем C 1 N, выразив два раза площадь треугольника DCC 1. D 6 D 1 D C 1 6 6 1 13 a C 5 A 12 C C D B 1 12 12 12 5 роекция N 6 5 п 6 6 N накло нная A 1 B МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой BC 1 и плоскостью A 1 BC, если AA 1 = 12, AB = 6, BC = 5. D 1 6 A 1 N D ция ц я р ек прое 12 B 1 накло нная 12 5 C 1 13 a C 5 A 12 B

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации Замечание: искомый угол можно записать, используя другие аркфункции: Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием векторов или метода координат. МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

С 2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB = , SC=2. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN, где M – середина ребра AS, а N – делит ребро BC в отношении 1: 2. S a - искомый угол Можем найти его из МKN. Но надо найти два элемента из этого треугольника. M 1) Из АВD: С A K D a 600 B N 1 часть 2 части

2. Построим высоту SO. Точка О – точка пересечения биссектрис, медиан и высот правильного треугольника. Применим свойство медиан: S 3. По теореме Фалеса: M С A K O D a 600 B Две прямые перпендикулярные к плоскости (АВС) параллельны: MKII SO. М – середина SА, значит и точка K – середина АО 2 части 4) Найдем AK: N 1 часть 5) Найдем KD:

D K ? N S Из KDN: 6) Из МАK по теореме Пифагора найдем MK: M С A K O D a 600 B N 7) Из МKN найдем тангенс искомого угла =3 2 части тогда 3 3 1 часть2 3

В правильной шестиугольной пирамиде SАВСDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SF и BM, где М – середина ребра SC. S 2 M E 1 1 3 D 2 B D 1 К 2 1 MO – средняя линия треугольника SFC. 1 MO = SF 2 F O C 1 A C =a =a A O 1 1 a E R 6 R F 1 2 B

S 2 M E F A 1 O 1 1 a 2 1 1 3 D 2 M C B 1 a 3 2 1 Рассмотрим треугольник O OBM. Чтобы найти угол М, составим теорему косинусов для стороны ОВ. 1 B

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD c вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M ― середина бокового ребра пирамиды AP. Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и ее B B проекцией. M ? Очевидно, что плоскости АРС и DPB перпендикулярны. РО – линия пересечения плоскостей. Опустим перпендикуляр P BM BK из точки М на РО. 1 2 M A D 2 4 2 MK AO 1 ия и екц про п я на на он о кл на на 1 2 K 1 O C a PO PO MK II AO Тогда по теореме Фалеса: если АМ=МР, то PK=KO. Значит, отрезок МК средняя линия АРО. 1 B Если не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за « 1»

MK DBP MK KB МК перпендикуляр к плоскости DBP, значит, МК будет перпендикулярен к любой прямой, лежащей в этой плоскости. P 1 2 2 4 M 1 2 A K 1 C 3 2 D 2 2 1 O a 1 B

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK D 1 C 1 1). Построим сечение призмы плоскостью D 1 MK. F 2). MK, т. к. точки M и K лежат в B 1 A 1 одной плоскости. MD 1, точки 8 21 лежат в одной плоскости. K 3). Строим KF II MD 1, т. к. эти отрезки сечения лежат в параллельных гранях. D C M 4). FD 1, т. к. точки лежат в одной 8 грани. A 12 B 5) Через точку А надо построить плоскость, перпендикулярную плоскости D 1 MK. Затем мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей.

-я н-я В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK D 1 6) Построим линейный угол C 1 двугранного угла A 1 MKD 1 р п(MK – ребро двугранного угла) F B 1 A 1 7) D 1 L MK, D 1 L является N 8 п-я 21 наклонной к плоскости ABB 1. D 1 A 1 – перпендикуляр к K плоскости ABB 1 L A 1 L – проекция отрезка D 1 L на D C плоскость ABB 1. M Применим теорему о трех перпендикулярах. 8 A 12 B D 1 L н-я MK ТТП A 1 L п-я MK D 1 LA 1 – линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 Попробуем сделать чертеж более наглядным. Опрокинем призму на грань ABB 1 A 1

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK C 1 1). Построим сечение призмы плоскостью D 1 MK. C 2). MK, т. к. точки M и K лежат в одной плоскости. MD 1, точки лежат в одной плоскости. D 1 3). Строим KF II MD 1, т. к. эти F D 12 отрезки сечения лежат в параллельных гранях. B 1 4). FD 1, т. к. точки лежат в одной 8 K грани. B 5) Через точку А надо построить 12 A 1 21 M 8 A плоскость , перпендикулярную плоскости D 1 MK. Затем мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей.

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной Плоскость линейного угла (A 1 LD 1) основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. перпендикулярна каждой грани На ребре ВВ 1 взята точка К так, двугранного Найдите расстояние от точки что В 1 К=8. угла: А 1 до плоскости D 1 MK A 1 LD 6) Построим линейный угол ABС 1, A 1 LD 1 D 1 MKD 1 C 1 Строим перпендикуляр из. A MKD двугранного угла точки А 1 1 на D 1 L(MK – ребро. Адвугранного угла) в плоскости 1 LD 1. C D 1 F я -я н- п-р B 1 D 12 8 K N L п-я A 1 21 B M 12 8 A 7) D 1 L MK, D 1 L является наклонной к плоскости ABB 1. D 1 A 1 – перпендикуляр к плоскости ABB 1 A 1 L – проекция отрезка D 1 L на плоскость ABB 1. Применим теорему о трех перпендикулярах. D 1 L н-я MK ТТП A 1 L п-я MK D 1 LA 1 – линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK Из KZM, по теореме Пифагора: KM 2 = KZ 2 + ZM 2; 8 C 1 K B 1 KM 2 = 122 + 52; C KM 2 = 169; KM = 13. L 13 12 D 1 ? 2 12 1 F D Z 5 M A 1 B 1 8 K N KZM = A 1 LM, по гипотенузе и острому углу. B KZ = A 1 L = 12, ? a L 12 A 1 Из A 1 D 1 L: 13 M 8 A 21

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации С 2 Используемые ресурсы: • Смирнов В. А. , Семенов А. А. , Ященко И. В. ЕГЭ-2013. Математика. Задача С 2. Геометрия. Стереометрия. Рабочая тетрадь. Издательство МЦНИО. 2013 г. ; • Тексты задач Стат Град и ЕГЭ- сайт Александра Ларина. http: //alexlarin/net/ege 11. html • Сайт ЕГЭ-тренер, видеоуроки Ольги Себедаш. http: //www. egetrener. ru/view zadachi=C 2 МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»