Консультации по ТС нечетная пятница 14 30 ауд

Консультации по ТС нечетная пятница, 14: 30 ауд. А 103

Лекция 5. Проведение эксперимента и обработка его результатов.

Ошибки параллельных опытов Для оценки ошибки эксперимента опыты воспроизводятся по возможности в одинаковых условиях m раз и затем усредняются результаты всех параллельных опытов: .

Отклонения свидетельствуют об изменчивости, вариации значений повторных опытов. Для измерения этой изменчивости используют дисперсию: где (m – 1) – число степеней свободы. Одна степень свободы использована для вычисления среднего.

Ошибки опытов складываются из:

Дисперсия воспроизводимости Дисперсия эксперимента вычисляется в результате усреднения дисперсий всех опытов. где i = 1, 2, …, n – число экспериментов; q = 1, 2, …, m – число параллельных измерений в каждом опыте.

Если число параллельных опытов различно, при усреднении дисперсий пользуются средним взвешенным значением дисперсий: wi – число степеней свободы i-м опыте, равное mi - 1.

Проверка однородности дисперсий 1. Критерий Фишера (F-критерий) - это отношение большей дисперсии к меньшей. Полученная величина сравнивается с табличной величиной : Fтабл(α; γ 1; γ 2), где γ 1=n-1 и γ 2=N-n; N – размер выборки, n – количество групп (экспериментов).

2. Критерий Кохрена. Для этого формулируют нулевую гипотезу Н 0: s 2 y 1= s 2 y 2=…= s 2 yn – дисперсии значений отклика в каждом опыте однородны.

-Подсчитывается дисперсия значений отклика для каждого из опытов эксперимента: -Далее определяется - вычисляется критерий:

Если полученное значение дисперсионного отношения Gрасч>Gтабл(α; γ 1; γ 2) больше приведенного в таблице, это означает, что дисперсии значимо отличаются друг от друга, т. е. что они неоднородны. Здесь α – уровень значимости, γ 1 и γ 2 – степени свободы, при этом γ 1=m-1, γ 2=n.

Пример x 0 1 1 x 1 -1 1 x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 yср s 2 i -1 1 16, 20 15, 32 16, 99 16, 36 16, 08 16, 19 0, 36 -1 -1 26, 81 25, 45 24, 33 25, 81 24, 25 25, 33 1, 15 1 -1 35, 96 35, 13 34, 82 35, 83 36, 42 35, 63 0, 42 1 1 53, 32 54, 57 53, 46 53, 95 55, 43 54, 15 0, 76 α=0, 05 Gрасч=0, 429 дисп однородны 0, 673 Gкр(0, 05; 4; 4)=0, 639 Gрасч

Метод наименьших квадратов Для совокупности факторов удобно производить оценку параметров регрессии в матричной форме. Кодированные уровни факторов представляют в виде матрицы размерностью (m, n+1), где m – число опытов в эксперименте, n+1 – число факторов.

МНК Для ПФЭ 22 матрица будет иметь вид

Вектор значений откликов: Вектор оценок уравнения регрессии: Уравнение регрессии: Y=ФВ. коэффициентов

Умножим обе части равенства на ФT: Отсюда можно выразить вектор коэффициентов регрессии: Матрица обладает свойствами симметричности, ортогональности, нормировки.

Матрицу называют информационной матрицей. Для ПФЭ 22 :

В общем виде , где m =2 k.

Корреляционная матрица факторов, включенных в эксперимент равна

Пример x 0 x 1 x 2 x 1 x 2 yср x 0 y x 1 y 1 -1 -1 1 -1 x 2 y x 1 x 2 y 16, 191 16, 191 25, 327 25, 327 35, 631 35, 631 1 1 54, 147 54, 147 bj 32, 824 6, 913 12, 065 2, 345

Регрессионный анализ Первый постулат. Отклик объекта исследования y есть случайная величина с нормальным законом распределения. Дисперсия воспроизводимости – одна из характеристик этого закона распределения.

Второй постулат. Дисперсия y не зависит от абсолютной величины y. Выполнимость этого постулата проверяется с помощью критериев однородности дисперсий в разных точках факторного пространства. Нарушение этого постулата недопустимо.

Третий постулат. Значения факторов суть неслучайные величины. Это означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка воспроизводимости.

Проверка значимости коэффициентов проводится независимо друг от друга на основании t –критерия Стьюдента: где sbj – оценка среднего квадратичного отклонения погрешности определения коэффициента.

Оценка дисперсии коэффициентов, найденных по экспериментальным данным

Оценка генеральной дисперсии воспроизводимости s 2 воспр, характеризует точность одного измерения. Вычисляется как средняя из всех построчных дисперсий:

При выбранном уровне статистической значимости и при числе степеней свободы γ=n(m– 1) находят табличное значение коэффициента tтабл. Найденное табличное значение сравнивается с расчетным значением коэффициента. Если tтабл > tрасч, то принимается нуль- гипотеза: найденный коэффициент bj является статистически незначительным и его следует исключить из уравнения регрессии.

Замечание: Оценка среднего квадратичного отклонения погрешности определения коэффициента sbj при достаточном числе степеней свободы может быть определена и через остаточную дисперсию:

Сjj является диагональным коэффициентом корреляционной матрицы факторов и Равен , а , - значение отклика, вычисленное по построенному уравнению регрессии и называется теоретическим значением отклика при заданном наборе факторов.

Пример x 0 1 1 1 x 1 -1 1 x 2 -1 -1 1 s 2 воспр= 0, 67 sвоспр= 0, 82 x 1 x 2 1 -1 -1 1 yср 16, 191 25, 327 35, 631 x 0 y x 1 y x 2 y x 1 x 2 y 16, 191 -16, 191 25, 327 -25, 327 35, 631 -35, 631 54, 147 54, 147 bj 32, 824 6, 913 12, 065 2, 345 tj 40, 025 8, 4295 14, 712 2, 8594 tтабл= 2, 12 y=32, 824+6, 913 x 1+12, 065 x 2+2, 345 x 1 x 2.

Проверка адекватности регрессионной модели. Для проверки адекватности достаточно оценить отклонение предсказанного уравнением регрессии значения отклика от результатов эксперимента. Для этого вычисляют дисперсию адекватности или остаточную дисперсию: , – число значимых коэффициентов модели.

Если s 2 ост не превышает дисперсии опыта s 2 y, то полученная математическая модель адекватно представляет результаты эксперимента, иначе – описание считается неадекватным объекту. F-критерий Фишера:

По уровню значимости α и числам степеней свободы γ 1=k-1 и γ 2=n-k-1 определяется критическое значение F(α, γ 1, γ 2). Если , то уравнение регрессии считается адекватным. В случае, если , то и неравенство будет выполняться всегда.

Проверка адекватности с помощью критерия Фишера возможна, если s 2 ост>0. При n=m не остается степеней свободы для проверки нуль-гипотезы об адекватности. yср 16, 191 25, 327 35, 631 yt 16, 191 25, 327 35, 631 54, 147 s 2 ост=0 Модель адекватна.

Благодарю за внимание