Компьютерные технологии в социологических исследованиях Лекция 2 Основные

Компьютерные технологии в социологических исследованиях Лекция 2 Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.

Основная задача исследований – это выявление статистических закономерностей. Они выявляются на основе массового наблюдения. Проявляются лишь в большой массе явлений через преодоление свойственной ее единичным элементам частности. Исследование закономерностей возможно только в том случае, если изучаются не отдельные явления, а совокупности явлений. Статистическая совокупность – множество единиц изучаемого явления, объединенных качественной однородностью, определенной целостностью, взаимозависимостью состояний отдельных единиц и наличием вариаций. Совокупность называется однородной, если один или несколько изучаемых существенных признаков являются общими для всех единиц. В противном случае совокупность считается разнородной.

Шкалы измерений Различают следующие типы шкал: Ø номинальная (категориальная), Ø порядковая (ординальная), Ø интервальная, Ø относительная (шкала отношения). Четыре типа переменных: • номинальные (категориальные), • порядковые (ординальная), • интервальные, • относительные.

• • Фундаментальные понятия: случайное событие; испытание (опыт, эксперимент); вероятность события; случайная величина. Определение 1. Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).

Под событием понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определённого комплекса условий. Осуществление этого комплекса называют опытом или испытанием. В данном случае событие – это не какоенибудь происшествие, а лишь возможный исход (результат) испытания, то есть выполнение определенного комплекса условий.

• Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности наступления события. • При классическом определении вероятность события определяется как доля случаев, благоприятствующих данному событию. • При статистическом определении – как доля тех фактически произведенных испытаний, в которых это событие появилось. (Предполагается, что число испытаний достаточно велико, а события – исходы тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий и обладают устойчивостью относительных частот. )

• Определение 2. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в результате данного испытания. • Определение 3. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания. • Определение 4. События A и B называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.

• Определение 5. События A и B называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого. • Определение 6. Два события A и A называются противоположными или взаимнодополнительными, если непоявление одного из них в результате данного испытания влечёт появление другого ( читается «не A» ). • Замечание: События A и A – несовместны.

• • Пример. Пусть производится один выстрел по мишени. Выделим следующие события, которые могут произойти в результате этого испытания (опыта): Ai – «выбито i очков, где i изменяется от 0 до 10» ; B – «выбито чётное число очков» ; C – «выбито нечётное число очков» ; D – «выбито более 4 очков» ; E – «выбито менее 5 очков» ; F – «число выбитых очков делится на 11» ; Q – «число выбитых очков меньше 12» .

• Определение 7. Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечёт за собой появление события В. • Определение 8. Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из событий, и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий. (Каждое событие из полной группы попарно несовместных событий называют исходом данного опыта (испытания). Иногда исходы испытаний называются элементарными событиями. )

• Замечание. Событие, заключающееся в появлении одного, неважно какого, из событий полной группы – достоверное. • Утверждение. Два несовместных события, образующие полную группу, являются противоположными событиями. • Определение 9. События называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какоелибо из них более возможным, чем любое другое.

Случайная величина • Определение 10. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно. • Определение 11. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счётное. • Определение 12. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Закон распределения вероятностей • Определение 13. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. (Закон распределения случайной величины можно задать так же, как в математическом анализе функцию одного аргумента, используя табличный, графический или аналитический способ задания. )

Закон распределения вероятностей (пример 1) Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 Pi 0 1/6 1/6 0. 18 0. 16 0. 14 0. 12 0. 1 Series 1 0. 08 0. 06 0. 04 0. 02 0 0 1 2 3 4 5 6 7

Закон распределения вероятностей (пример 2) Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Pi 0 0 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 0 Fi 0 0 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36 1 0. 18 0. 16 0. 14 0. 12 0. 1 Series 1 0. 08 0. 06 0. 04 0. 02 0 0 2 4 6 8 10 12 14

Функция распределения вероятностей • Определение 14. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величина X принимает значение, меньшее x, т. е. F(x)=P(X

Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Pi 0 0 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 0 Fi 0 0 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36 1 1. 2 1 0. 8 0. 6 Series 1 0. 4 0. 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Свойства функции распределения. 1. Если F(x) - функция распределения случайной величины X, то 0 F(x) 1 для любого x. 2. Функция распределения F(x) случайной величины X является неубывающей функцией, и для любых выполняется равенство P( x ) = F( ) – F( ) 3. Если F(x) - функция распределения, то Lim F(x) = 0 Lim F(x) = 1 x - x

Следствие из свойств F(x) Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. При lim P( x ) = lim [F( ) – F( )] = 0

Плотность распределения вероятностей Вероятность нахождения случайной величины в интервале (x , x + x) равна P(x < X < x + x) = F(x + x) - F(x) т. е. равна приращению функции F(x) на этом участке. Определим вероятность, которая приходится на единицу длины рассматриваемого интервала (x , x + x). Имеем P(x < X < x + x) F(x + x) - F(x) = x x

Перейдём в полученном равенстве к пределу при x стремящемся к нулю. P(x < X < x + x) F (x + x) - F(x) lim = lim = F’ (x) = f(x) x 0 x Определение 15. Плотностью распределения вероятностей f(x)называется первая производная интегральной функции распределения F(x). Иногда функцию плотности распределения вероятности f(x) называют дифференциальной функцией. График дифференциальной функции распределения f(x) называется кривой распределения.

Основные свойства функции плотности (дифференциальной функции) распределения 1. Для любых x дифференциальная функция распределения f(x) неотрицательна, т. е. f(x) 0 2. Для дифференциальной функции распределения имеет место равенство P( x ) = f(x)dx 3. Для дифференциальной функции распределения имеет место равенство f(x)dx = 1 - 4. Для интегральной и дифференциальной функций распределения имеет место равенство x F(x) = f(t)dt -

Нормальное распределение

Стандартное нормальное распределение Функция плотности нормального распределения f(x) с параметрами а = 0, σ = 1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины, а её график – стандартной кривой Гаусса. где Р(|Х – а| < 1) = (1) = 0, 6837 при u = 1; Р(|Х – а| < 2 ) = (2) = 0, 9545 при u = 2; Р(|Х – а| < 3 ) = (3) = 0, 9973 при u = 3.