Скачать презентацию Компьютерное оформление Головко Р С студент Ст Скачать презентацию Компьютерное оформление Головко Р С студент Ст

1618810c18a4f040d93d672ba87b17fd.ppt

  • Количество слайдов: 43

© Компьютерное оформление: Головко Р. С. студент Ст. ГАУ факультет ФБД 3/15/2018 1: 43 © Компьютерное оформление: Головко Р. С. студент Ст. ГАУ факультет ФБД 3/15/2018 1: 43 PM Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 1. Введение § 2. Системы массового обслуживания с отказами § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием § 4. Замкнутые системы массового обслуживания © Компьютерное оформление: Головко Р. С. студент Ст. ГАУ факультет ФБД

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Теория массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Теория массового обслуживания (ТМО) помогает решать задачи, связанные с оптимизацией процессов обслуживания на железнодорожном транспорте, и является основой проектирования и анализа систем массового обслуживания (СМО). К таким СМО относятся: вагонные депо; кассы продажи пассажирских билетов; железнодорожные станции; информационные системы и т. д.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Системы, в Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо видов услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов, называются системами массового обслуживания. Система массового обслуживания включает следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслуживающий аппарат, канал обслуживания), выходящий поток требований.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 1. Введение Системы массового обслуживания классифицируют по разным Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 1. Введение Системы массового обслуживания классифицируют по разным признакам. Одним из признаков является ожидание требования начала обслуживания. В соответствии с этим признаком системы подразделяются на следующие виды: 1) системы массового обслуживания с потерями (отказами); 2) системы массового обслуживания с ожиданием; 3) системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди; 4) системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания. 3/15/2018 1: 43 PM

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Системы массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Системы массового обслуживания, у которых требования, поступающие в момент, когда все приборы обслуживания заняты, получают отказ и теряются, называются системами с потерями или отказами. Системы массового обслуживания, у которых возможно появление как угодно длинной очереди требований к обслуживающему устройству, называются системами с ожиданием.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Системы массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным числом мест в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди. Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение По числу Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные. По месту нахождения источника требований СМО делятся на разомкнутые, когда источник находится вне системы, и замкнутые, когда источник находится в самой системе. К последнему виду относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а, следовательно, и требований на их обслуживание.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Одной из Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Одной из форм классификации систем массового обслуживания является кодовая (символьная) классификация Д. Кендалла. При этой классификации характеристику системы записывают в виде трех, четырех или пяти символов, например, А|B|S, где А – тип распределения входящего потока требований, В – тип распределения времени обслуживания, S – число каналов обслуживания.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Для экспоненциального Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 1. Введение Для экспоненциального распределения принимают символ М, для любого (произвольного) распределения символ G. Запись М|М|3 означает, что входящий поток требований пуассоновский (простейший), время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, в системе имеется три канала обслуживания. Четвертый символ указывает допустимую длину очереди, а пятый — порядок отбора (приоритета) требований.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания с отказами СМО с отказами является такая система, в которой приходящие для обслуживания требования, в случае занятости всех каналов обслуживания, сразу ее покидают.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания с отказами Вероятности состояний системы определяются из выражения: где k = 1, 2, …, N; N – общее число каналов; – нагрузка; - интенсивность входящего потока требований; µ - интенсивность (производительность) одного канала (прибора) обслуживания;

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания с отказами А вероятность отсутствия требований P 0 определяется из выражения:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания с отказами К основным характеристикам качества обслуживания рассматриваемой СМО относятся: • вероятность отказа • среднее число занятых узлов обслуживания • среднее число свободных узлов обслуживания

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания с отказами В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, отсюда: Относительная пропускная способность определяется по формуле:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 2. Системы массового обслуживания с отказами Абсолютная пропускная способность СМО с отказами равняется: Коэффициент занятости узлов обслуживания определяется отношением средним числом занятых каналов к общему числу каналов:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием СМО с ожиданием аналогична системе массового обслуживания с ограниченной длиной очереди при условии, что граница очереди отодвигается в бесконечность.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Вероятность состояний СМО с ожиданием находят по формулам: для k = 1, 2, …, N для k = N + 1, …, N + k, …, N + ∞

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием При ρ / N > 1 наблюдается явление «взрыва» – неограниченный рост средней длины очереди, поэтому для определения P 0 должно выполняться ограничивающее условие ρ / N > 1, и с учетом его запишем выражение:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием К основным характеристикам качества обслуживания СМО с ожиданием относят: Вероятность наличия очереди Pоч , т. е. вероятность того, что число требований в системе больше числа узлов:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Вероятность занятости всех узлов системы Pзан : Среднее число требований в системе МТР :

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Средняя длина очереди Mоч : Среднее число свободных каналов обслуживания Мсв :

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Среднее число занятых каналов обслуживания Мзан : Коэффициент простоя K 0 и коэффициент загрузки Kз каналов обслуживания системы:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Среднее время ожидания начала обслуживания Тож для требования, поступившего в систему:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Общее время, которое проводят в очереди все требования, поступившие в систему за единицу времени Тоож :

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Среднее время Ттр , которое требование проводит в системе обслуживания: Суммарное время, которое в среднем проводят в системе все требования, поступившие за единицу времени Тстр :

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Задача 1. В порту имеется два причала для разгрузки грузовых судов. Интенсивность потока судов равна 0, 8 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь ожидающих разгрузки судов может быть неограниченной длины. Найти среднее время пребывания судна в порту.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Решение: Имеем: m = 2, λ = 0, 8 сут-1, , Находим: ,

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 3. Системы массового обслуживания с ожиданием Итак,

Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 4. Замкнутые системы массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» 3/15/2018 1: 43 PM § 4. Замкнутые системы массового обслуживания В замкнутых системах массового обслуживания источник требований находится внутри системы, и интенсивность потока требований зависит от состояния самой системы. Чаще всего потоком требований в такой системе является поток неисправностей от некоторой группы работающих устройств.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Пусть имеется m работающих устройств, которые могут выходить из строя за счет неисправностей. Имеется также N приборов (каналов) обслуживания этих требований. В качестве таких каналов могут выступать и люди. Обычно предполагают, что N < m.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Обозначим через S 0 состояние, при котором все устройства работают, а приборы обслуживания не заняты; S 1 - состояние, при котором одно устройство вышло из строя и обслуживается одним прибором обслуживания; SN – N устройств не работают, и все приборы заняты обслуживанием; Sm - все устройства не работают, из них N обслуживаются и (m – N ) ждут обслуживания.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Вероятности состояний замкнутой системы определяются следующими зависимостями: для k = 1, 2, …, N для k = N+1, N+2, …, m

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Средняя длина очереди:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Коэффициент простоя требований в СМО: Среднее число требований в СМО: где – коэффициент бинома Ньютона.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Среднее число свободных каналов Мсв и коэффициент простоя каналов К 0 :

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Вероятность занятости каналов обслуживания: Абсолютная пропускная способность:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Задача 2. Автозаправочная станция представляет собой СМО с одним каналом обслуживания - одной колонкой. Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно. Если в очереди уже находится три машины, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность λ = 1 маш /мин. Процесс заправки продолжается в среднем 1, 25 мин.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы Определить: 3/15/2018 1: 43 PM Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы Определить: 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания • вероятность отказа; • относительную и абсолютную пропускную способности СМО; • среднее число машин, ожидающих заправки; • среднее время ожидания машины в очереди; • среднее время пребывания машины на АЗС, включая обслуживание.

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Имеем одноканальную систему с отказами. В системе имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ = 1 маш /мин. Поток обслуживания имеет интенсивность:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания S 0 - канал свободен; S 1 - канал занят. Составим систему уравнений: , тогда предельные вероятности системы:

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Вероятность отказа: P 1 = 0, 535 Относительная пропускная способность СМО: Q = 1 – Pотк = 1 – 0, 535 =0, 465 маш /мин. Абсолютная пропускная способность СМО: A = λ * Q = 1 * 0, 465 = 0, 465 маш /мин. Среднее число заявок за среднее время обслуживания одной заявки (машины):

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Среднее число машин, ожидающих их заправки: , где n = 1 – число обслуживающих сирегатов (колонок); m = 3 – число обслуживаемых сирегатов (машин на площадке ожидания);

Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового Тема 16: «Теория массового обслуживания» § 4. Замкнутые системы 3/15/2018 1: 43 PM массового обслуживания Pk – вероятность того, что колонка занята (P 1 = 0, 535 ), или свободна (P 0 = 0, 465 ); Среднее время ожидания машины в очереди: Среднее время пребывание машины на АЗС включая обслуживания: