Компьютерное моделирование СЛЕТКОВ Денис Викторович February 2018 1

Математические модели описывают целый класс процессов или явлений, которые обладают сходными свойствами, или являются изоморфными. «Область знания становится наукой, когда она выражает свои законы в виде математических соотношений» Галилей, Пуанкаре February 2018 2

Понятие математической модели Модель (model, simulator) – материальный объект, система математических зависимостей или программа, имитирующая структуру или функционирование исследуемого объекта (Першинов В. И. , Савинков В. М. Толковый словарь по информатике. - М. : Финансы и статистика, 1991). Моделирование, симуляция (simulation) – это имитация поведения некоторых существующих или предполагаемых систем или некоторых аспектов этого поведения (Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др. - М. : Машиностроение 1990). Математическое моделирование (mathematical modeling) – метод исследования процессов и явлений на их математических моделях. Используется в тех случаях, когда эксперимент невозможен, затруднен или нецелесообразен (Першинов В. И. , Савинков В. М. Толковый словарь по информатике. - М. : Финансы и статистика, 1991). February 2018 3

Понятие математической модели February 2018 4

Понятие математической модели Компьютерная модель реального объекта может быть представлена в виде совокупности математического описания процессов и явлений, характерных для этого объекта (математическая модель), алгоритмов численного решения уравнений и компьютерной программы, предназначенной для реализации этих алгоритмов. February 2018 5

Области использования математических моделей Наука Исследование свойств объектов в биологии, физике, химии и других естественных науках; временное прогнозирование; предсказание новых свойств, эффектов, закономерностей и условий их возникновения; автоматизированны й эксперимент; обработка результатов экспериментов; измерительные комплексы и др. February 2018 Образование Проведение вычислительных экспериментов в различных областях естественных наук, а также социальных, психологических и педагогических системах с целью изучения той или иной предметной области, профессиональн о-го тренинга и т. д. Техника и технологии Проектирование новых технологий, материалов, аппаратуры, приборов и т. п. (САПР); управление объектами; искусственный интеллект и распознавание образов. Искусство Компьютерная графика и анимация; семантически е модели. Общественная жизнь Изучение общественного мнения; создание адекватных моделей «среднего человека» , изучение его реакций на те или иные управленческие решения; политические технологии и управление общественным мнением. 6

Принципы математического моделирования Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При наличии полной информации о системе ее моделирование лишено смысла. Поэтому существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена ее адекватная модель. Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с заданной вероятностью и за конечное время. Обычно задают некоторое пороговое значение P 0 – вероятности достижения цели моделирования P(t), а также приемлемую границу t 0, времени достижения этой цели. Модель считают осуществимой, если может быть выполнено условие P(t 0) P 0. February 2018 7

Принципы математического моделирования Принцип множественности моделей. Данный принцип является ключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы (или явления), которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно при использовании любой конкретной модели познаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый процесс. Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования. February 2018 8

Принципы математического моделирования Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы возможно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели. February 2018 9

Адекватность математической модели o Адекватность (adequacy) – соответствие, тождественность. o Адекватность моделирования (модели) – полнота и точность перевода информации с естественного языка на семантический. Зависит от возможностей семантического языка, разработанности правил перевода, точности соотнесения единиц двух языков (Першинов В. И. , Савинков В. М. Толковый словарь по информатике. М. : 1991). February 2018 10

Адекватность математической модели Xi Yi Объект Ui Xim Yim Модель Uim February 2018 11

Адекватность математической модели (оценка) А) Визуальное соответствие Б) Погрешность моделирования В) Критерий Фишера Принимаются во внимание: - дисперсия неадекватности; - число степеней свободы. February 2018 12

Структурная и параметрическая идентификация математической модели Задача структурной идентификации ММ заключается в определении структуры связей между векторами X, U и Y, которая бы позволяла построить адекватную математическую модель. Обычно используются: методы корреляционного анализа, анализ физических законов и механизмов функционирования объекта, экспертные оценки и т. д. February 2018 13

Структурная и параметрическая идентификация математической модели Задача параметрической идентификации ММ заключается в определении такого вектора параметров модели – P, при котором ММ в наибольшей степени адекватна реальному объекту, т. е. : Обычно используются методы минимизации функций многих переменных (нелинейного программирования): градиентные, наискорейшего спуска, Монте-Карло и др. February 2018 14

Классификация математических моделей 1. ММ статики и динамики 2. ММ детерминированные и стохастические 3. ММ с распределенными и сосредоточенными параметрами 4. ММ стационарные, нестационарные и квазистационарные 5. ММ непрерывные и дискретные February 2018 15

Математические модели динамики и статики А) Динамика February 2018 16

Математические модели динамики и статики Б) Статика d[A]/dt = d[B]/dt = d[C]/dt = 0 February 2018 17

Математические модели динамики и статики (автоколебания в системе) Модель Лотки-Вольтерра (хищники – жертвы). (Цит. Рубин. А. Б. Биофизика. - М. 1999) February 2018 18

Математические модели динамики и статики (модель динамики для объекта с распределенными параметрами) February 2018 19

Математические модели детерминированные и стохастические a) – полностью детерминированный объект; b) – частично «зашумленный» объект; шум может быть связан как со случайной природой самого объекта, так и с наличием ненаблюдаемых факторов или ошибок измерения; c) – полностью стохастический объект. February 2018 20

Математические модели детерминированные и стохастические. Функции плотности распределения случайных величин February 2018 21

Математические модели детерминированные и стохастические. Часто используемые распределения случайных величин. Равномерное распределение Псевдослучайные величины, соответствующие этому закону обычно генерируют стандартные генераторы языков программирования February 2018 22

Математические модели детерминированные и стохастические. Часто используемые распределения случайных величин. Нормальное распределение Этому закону подчиняются непрерывные случайные величины, значения которых обусловлены действием многочисленных случайных факторов. February 2018 23

Математические модели детерминированные и стохастические. Часто используемые распределения случайных величин. Экспоненциальный (показательный) закон Этому закону подчиняется, например, время безотказной работы технических устройств. February 2018 24

Математические модели детерминированные и стохастические. Часто используемые распределения случайных величин const N=100; { Количество случайных чисел } var f: text; i: integer; begin randomize; assign(f, 'data'); rewrite(f); for i: =1 to N do writeln(f, random(1000)/1000); close(f); end. February 2018 25

Математические модели с сосредоточенными и распределенными параметрами (объект) Озеро, река, ванна с водой, участок воздушного бассейна, химический реактор (гидродинамика), живая клетка и т. д. February 2018 26

Математические модели с сосредоточенными и распределенными параметрами Представление в виде объекта с сосредоточенными параметрами Модель: Н. У. : c(t 0) = c 0. Решение: February 2018 27

Математические модели с сосредоточенными и распределенными параметрами Представление в виде объекта с распределенными параметрами Модель: + Начальные и граничные условия. Решение: с=с(x, t) February 2018 28

Математические модели с сосредоточенными и распределенными параметрами Представление в виде объекта с распределенными параметрами Модель: + Начальные и граничные условия Решение: с=с(x, t) February 2018 29

Математические модели с сосредоточенными и распределенными параметрами Представление в виде объекта с распределенными параметрами Модель: February 2018 + Начальные и граничные усл Решение: с=с(x, r, t) 30

Математические модели с сосредоточенными и распределенными параметрами Представление в виде объекта с распределенными параметрами Модель: Решение: сi=сi(t), i=1, . . , n Н. У. : ci(t 0) = ci 0. , i=1, . . , n February 2018 31

Сравнение реакций различных математических моделей на стандартные воздействия February 2018 32

Математические модели непрерывные и дискретные Математические модели, которые получают обычно на основе законов сохранения, представляют собой дифференциальные уравнения – решения которых непрерывные функции. Т. е. обычно получают непрерывные математические модели Чем плохи непрерывные математические модели? 1. Во многих случаях они проявляют принципиальную неадекватность по отношению к моделируемому объекту. Например, графики изменения концентраций веществ February 2018 33

Математические модели непрерывные и дискретные February 2018 34

Математические модели непрерывные и дискретные 2. Необходимость численного моделирования. Как бы глубоки и разнообразны ни были методы качественного анализа математических моделей, область их применимости весьма ограничена. Это — либо простые, главным образом линейные, модели, либо отдельные фрагменты сложных, в том числе нелинейных моделей. Единственным универсальным способом исследования моделей является применение численных методов для нахождения приближенного решения поставленной задачи с помощью компьютера. Современные компьютеры являются дискретными. Т. е. при программировании любого алгоритма моделист получает дискретную модель. February 2018 35

Математические модели непрерывные и дискретные Конструирование дискретных вычислительных алгоритмов проходит в два этапа: -на первом строятся дискретные аналоги исходных моделей (например, записанных в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или в дифференциальных уравнений в частных производных); -на втором дискрентные уравнения решаются численно. Пример 1. Пусть имеется следующая краевая задача: February 2018 36

Математические модели непрерывные и дискретные Заменим непрерывную область совокупность конечного числа точек N. на дискретную – Отрезок [0, ] поделим на равные части по правилу: February 2018 37

Математические модели непрерывные и дискретные Пример 2. Пусть имеется уравнение теплопроводности: February 2018 38

Математические модели непрерывные и дискретные Дискретизация расчетной области February 2018 39

Математические модели непрерывные и дискретные Дискретное представление задачи (4): February 2018 40

Математические модели стационарные и нестационарные February 2018 41

Математические модели стационарные и нестационарные February 2018 42

Случаи, в которых математическое моделирование может быть единственным инструментом познания мира (временной прогноз) February 2018 43

Случаи, в которых математическое моделирование может быть единственным инструментом познания мира (прогноз свойств за границами физических возможностей) February 2018 44

Случаи, в которых математическое моделирование может быть единственным инструментом познания мира Исследование свойств макрообъектов по свойствам микрообъектов (их составляющих) и правилам их взаимодействия. Прямая задача. Примеры: молекулярная динамика, Agent Based Approach, иерархические структуры Трудности: необходимы значительные вычислительные ресурсы February 2018 45

Случаи, в которых математическое моделирование может быть единственным инструментом познания мира Исследование свойств микрообъектов по свойствам макрообъектов и правилам взаимодействия микрообъектов; исследование правил взаимодействия микрообъектов по свойствам макро- и микрообъектов. Обратные задачи. Примеры: химическая и биохимическая кинетика, молекулярная динамика, Agent Based Approach, иерархические структуры. Трудности: не единственность решения и связанные с этим отбор решений, необходимы значительные вычислительные ресурсы. February 2018 46

Случаи, в которых математическое моделирование может быть единственным инструментом познания мира Объект, состоящий из большого числа, последовательных частей (без обратных связей и с обратными связями). February 2018 47

Этапы разработки математической модели February 2018 48

Какие законы и соображения могут быть положены в основу построения математической модели? А) Фундаментальные законы Природы; Б) Вариационные принципы; В) Иерархия объектов и свойства нижних уровней. February 2018 49

Пример разработки математической модели из фундаментальных законов Природы (уравнение молекулярной диффузии - закон Фика) February 2018 50

Пример разработки математической модели из фундаментальных законов Природы (уравнение молекулярной диффузии) February 2018 51

Пример разработки математической модели из фундаментальных законов Природы (уравнение молекулярной диффузии) Уравнение молекулярной диффузии: February 2018 52

Пример разработки математической модели из фундаментальных законов Природы (дифференциальное уравнение теплопроводности – закон Фурье) February 2018 53

Пример разработки математической модели из фундаментальных законов Природы (дифференциальное уравнение теплопроводности – закон Фурье) February 2018 54

Пример разработки математической модели из фундаментальных законов Природы (дифференциальное уравнение теплопроводности – закон Фурье) Уравнение теплопроводности Фурье: February 2018 55

Граничные и начальные условия February 2018 56

Различные явления могут описываться одинаковыми математическими моделями А) Можно одно физическое явление моделировать (изучать) с помощью другого; Б) Можно использовать одинаковое программное обеспечение; В) Явления имеют подобные физические механизмы February 2018 57

Пример разработки математической модели из вариационных принципов «Многие законы Природы могут быть выведены из утверждения, что для истинного развития исследуемого процесса определенная характеристическая величина достигает минимального (в более общем случае экстремального) значения по сравнению с ее значениями для некоторых других возможных течений этого процесса. Чтобы математически сформулировать это утверждение, необходимо ввести в рассмотрение уравнения, описывающие данный процесс, и с помощью изменения (вариации) их формы добиться достижения экстремального значения вычисляемой характеристической величины. Те уравнения, при которых это экстремальное значение достигается, и выражают истинные законы изучаемого явления. В таком случае данное утверждение принимают за исходное и называют вариационным началом или вариационным принципом» . Трифонов Е. Д. (Евгений Дмитриевич) Соросовский образовательный журнал. № 6, 1998. С. 106 -111. February 2018 58

Вариационный принцип геометрической оптики – принцип Пьера Ферма (1601 -1665). Пусть KL – плоскость, разделяющая две среды, точка А находится в менее плотной среде, а точка С в более плотной среде. Пусть луч света проходит из точки А через точку В, лежащую на границе, в точку С в соответствии с законом преломления Где n 1, c 1, n 2, c 2 – показатели преломления и скорости распространения света в верхней и нижней средах соответственно. По нашему предположению, n 1<n 2, c 1>c 2. February 2018 59

Вариационный принцип геометрической оптики – принцип Пьера Ферма (1601 -1665). Требуется доказать, что время прохождения света по такому лучу самое короткое по сравнению с временем прохождения по любому другому преломленному лучу. Далее приведено доказательство от противного, сделанное Христианом Гюйгенсом (1629 -1695). Допустим, что свет прошел по другому лучу AFC, так что точка F отстоит от точки A дальше, чем точка B. Проведем прямую FO’, параллельную AB, и построим перпендикуляры AO и BH к этим прямым. Опустим также перпендикуляр FG на прямую BC. Угол HBF равен углу PBA, а угол BFG равен углу QBC, откуда следует, что: February 2018 60

Вариационный принцип геометрической оптики – принцип Пьера Ферма (1601 -1665). Поэтому, согласно (1), время распространения света по отрезку HF равно времени распространения по отрезку BG: Таким образом, время прохождения света по лучу OF равно времени прохождения света по пути ABG. Очевидно, что гипотенуза FC больше катета GC. Следовательно время прохождения по пути OFC больше, чем по пути ABC. Наконец, поскольку гипотенуза AF больше катета OF, то время прохождения света по пути AFC больше времени прохождения света по пути OFC и тем более по пути ABC! February 2018 61

Классификация математических моделей 1. ММ статики и динамики 2. ММ детерминированные и стохастические 3. ММ с распределенными и сосредоточенными параметрами 4. ММ стационарные, нестационарные и квазистационарные 5. ММ непрерывные и дискретные February 2018 62