Компьютерная геометрия и графика Лекция 2 Базовая графика

Компьютерная геометрия и графика Лекция 2 Базовая графика. Математические основы.

План лекций 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Представление и преобразование точек. Преобразование прямых линий. Вращение. Отображение. Изменение масштаба. Двумерное смещение. Однородные координаты.

Представление и преобразование точек Точки на плоскости задаются с помощью двух ее координат, а в пространстве – с помощью трех. Геометрически каждая точка задается значениями координат вектора относительно выбранной системы координат. Координаты точек можно рассматривать в виде вектор-строки или вектор-столбца.

Представление и преобразование точек Преобразование точек – умножение на матрицу преобразования. В общем случае

Представление и преобразование точек Частные случаи: 1. a=d= 1, c=b=0. Изменений координат точки не происходит.

Представление и преобразование точек Частные случаи: 2. 3. a=const>0, d= 1, c=b=0. Изменение масштаба в направлении х. a=1, d= const>0, c=b=0. Изменение масштаба в направлении y.

Представление и преобразование точек Частные случаи: 4. a= d= const>0, c=b=0. Изменение масштаба координат (a>1 – увеличение, a<1 - уменьшение). 5. a=const>0, d= const>0, c=b=0, a≠d. Перемещения вдоль осей неодинаковы.

Представление и преобразование точек Частные случаи: 6. 7. a=-1, d= 1, c=b=0. Отображение относительно оси y. a=1, d= -1, c=b=0. Отображение относительно оси х.

Представление и преобразование точек Частные случаи: 8. a= d= -1, c=b=0. Отображение относительно начала координат. Отображение и изменение масштаба вызывают только диагональные элементы матрицы преобразования.

Представление и преобразование точек Частные случаи: 9. 10. a= d= 1, c=0. Сдвиг пропорционально координате x. a= d= 1, b=0. Сдвиг пропорционально координате y. Начало координат инвариантно при общем преобразовании.

Представление и преобразование точек

План лекций 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Представление и преобразование точек. Преобразование прямых линий. Вращение. Отображение. Изменение масштаба. Двумерное смещение. Однородные координаты.

Преобразование прямых линий Линия задается 2 векторами своих концов. Векторы положения точек А и В равны [xa ya] и [xb yb]. Матрица преобразования Представление линии AB

Преобразование прямых линий Результат преобразования линии:

Преобразование прямых линий Результат преобразования линии: A=[0; 1] B=[2; 3] A*=[3; 1] B*=[11; 7] Операция увеличила длину линии и изменила ее положение.

План лекций 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Представление и преобразование точек. Преобразование прямых линий. Вращение. Отображение. Изменение масштаба. Двумерное смещение. Однородные координаты.

Вращение Общую матрицу 2 х2, которая осуществляет вращение фигуры относительно начала координат, можно получить из рассмотрения вращения единичных векторов вокруг начала координат. Точка (1, 0) преобразуется в точку х*=(1)cos q и y=(1)sin q, а точка (0, 1) переходит в точку x*=( -1)sin q и y*=(1)cos q. Матрица преобразования общего вида записывается так:

Вращение Частные случаи: Поворот на: 900 : Поворот на 1800 : Поворот на 2700 :

Вращение Положительным считаются углы, измеряемые против движения часовой стрелки от X к Y. Поворот производится относительно начала координат. y результат поворота A* A φ 0 исходная точка x

Вращение Пример. Вращение треугольника. A=[3; -1] B=[4; 1] B* C=[2; 1] Поворот на 900 C* A*=[1; 3] 1 B*=[-1; 4] C*=[-1; 2] 0 Поворот на 450 A**=[2; 1]⋅2^0. 5 B**=[3/2; 5/2] ⋅2^0. 5 C**=[1/2; 3/2] ⋅2^0. 5 B** A* A** C B 1 A

План лекций 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Представление и преобразование точек. Преобразование прямых линий. Вращение. Отображение. Изменение масштаба. Двумерное смещение. Однородные координаты.

Отображение Отображение определяется поворотом на 180° вокруг оси, лежащей в плоскости ху. Частные случаи: Ось x=y: y результат отображения A* Ось y=0: A Ось х=0: 0 исходная точка x

План лекций 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Представление и преобразование точек. Преобразование прямых линий. Вращение. Отображение. Изменение масштаба. Двумерное смещение. Однородные координаты.

Изменение масштаба определяется значением 2 -х членов основной диагонали матрицы Если значения членов не равны, то имеет место искажение. Пример. АВС преобразован с помощью матрицы [2 0] [0 2] DEF преобразован с помощью матрицы [3 0] [0 2]

План лекций 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Представление и преобразование точек. Преобразование прямых линий. Вращение. Отображение. Изменение масштаба. Двумерное смещение. Однородные координаты.

Двумерное смещение Точки на плоскости можно перенести в новые позиции путем добавления к координатам этих точек констант переноса: y результат смещения A* вектор смещения A 0 исходная точка x

План лекций 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Представление и преобразование точек. Преобразование прямых линий. Вращение. Отображение. Изменение масштаба. Двумерное смещение. Однородные координаты.

Однородные координаты Преобразования переноса, масштабирования и поворота в матричной форме записываются как P' = P + T, P' = P * S, P' = P * R. Перенос в отличие от других реализуется с помощью сложения. Хотелось бы преобразования представить в такой форме, чтобы все эти элементарные преобразования можно было бы представить в одной форме - в виде произведений матриц. Тогда удастся совместить все три вида преобразований в виде умножения на одну результирующую матрицу геометрических преобразований.

Однородные координаты были введены в геометрии. Точка Р(х, у) записывается как P(Wx, Wy, W) для любого масштабного множителя W не равного нулю. Переход от однородных к декартовым координатам x=X/W, y=Y/W.

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Уравнение переноса

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Если перенести точку на (Dx 1, Dy 1), а затем на (Dx 2, Dy 2), то последовательным применением преобразования переноса суммарный перенос запишется в виде матрицы

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Уравнение масштабирования

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Последовательные масштабирования приводят к матрице

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Уравнение поворота

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Матрица двух последовательных поворотов:

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Поворот объекта относительно некоторой произвольной точки P(x 1, y 1) задается композицией двумерных преобразований: Перенос, при котором точка P(x 1, y 1) помещается в начало координат; Поворот; Перенос в первоначальное положение.

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Результирующее преобразование имеет вид:

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Вопросы эффективности Композиция наиболее общего вида из операций R, S и Т имеет вид Верхняя часть матрицы М размером 2 х2 является объединением матрицы поворота и масштабирования, в то время как D 1 и D 2 описывают суммарный перенос.

Однородные координаты. Матричное представление двумерных преобразований Вопросы эффективности Для вычисления произведения двух матриц размером 3 х3 требуется 9 операций умножения и 6 операций сложения. Однако, структура последнего столбца позволяет упростить выполняющиеся действия: Это существенно упрощает процесс, поскольку остается 4 операции умножения и 4 операции сложения.