КОМПЛЕКСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ, ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

КОМПЛЕКСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ, ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ • Большинство электрических цепей служат средством связи для передачи сигналов от источника сигнала в нагрузку (рис. 5. 1), где x(t) – сигнал на входе цепи, он называется входным сигналом, или воздействием; y(t) – выходной сигнал, или отклик: • В общем случае связь между откликом и воздействием имеет вид дифференциального уравнения. Если цепь линейная, то уравнение линейное, где a, b, c – параметры элементов, входящих в цепь. • Если входной сигнал гармонический, то его представляют комплексной амплитудой • Если цепь линейная, то откликом такой цепи является гармонический сигнал с комплексной амплитудой • Причем связь между комплексной амплитуды отклика и воздействия имеет вид линейного алгебраического уравнения: • где H (a, b, c) – комплексный параметр электрической цепи (это комплексное число). Комплексным параметром цепи называют отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия.

5. 1. Комплексные параметры двухполюсника • Двухполюсником является цепь с двумя выводами рис. 5. 2. Его режим работы характеризуется двумя величинами . • 1. Если воздействием считать амплитуду тока, то откликом будет являться напряжение на нем. Тогда параметр . Он имеет размерность сопротивления, Z – комплексное сопротивление двухполюсника. (Z = R+j. X – комплексное число, где R и X – резистивная и реактивная составляющие сопротивления двухполюсника). Обобщенная схема замещения двухполюсника - рис. 5. 3. • 2. Если воздействием считаем амплитуду напряжения, тогда откликом будет амплитуда тока, связанная с напряжением, а параметр где Y – второй параметр двухполюсника, он называется комплексной проводимостью двухполюсника: Y = G + j. B, G и B – резистивная и реактивная составляющие проводимости двухполюсника. Вторая схема замещения двухполюсника приведена на рис. 5. 4. Эти схемы замещения при определенном выборе параметров эквивалентны.

5. 2. Параметры четырехполюсника • • • Четырехполюсник – это цепь с четырьмя выводами (рис. 5. 5). Параметры четырехполюсника можно разбить на четыре группы: 1. Входные параметры связывают входные напряжение и ток. Их два : • • • : , , где Zвх – входное сопротивление четырехполюсника; Yвх – входная проводимость четырехполюсника. • 2. Передаточные параметры характеризуют передачу сигнала с входа на выход, или, как говорят, передачу в прямом направлении. Передаточных параметров четыре • • • где Ku – коэффициент передачи по напряжению; Ki – коэффициент передачи по току; Kiu – сопротивление прямой передачи, или коэффициент преобразования ток – напряжение; Kui – проводимость прямой передачи, или коэффициент преобразования напряжение – ток. 3. Выходные параметры. Их два: • • где Zвых – комплексное выходное сопротивление; комплексная выходная проводимость – комплексная амплитуда выходного напряжения в режиме холостого хода (х. х). ; – комплексная амплитуда выходного тока в режиме короткого замыкания (к. з). • 4. Параметры обратной передачи сигнала. Они характеризуют передачу сигнала с выхода на вход. Таких параметра четыре, и они аналогичны параметрам второй группы: (Ku, Kiu, Kui).

5. 3. Частотные характеристики • Поскольку сопротивления элементов (L, C) цепей зависят от частоты, то параметры цепей оказываются частотно-зависимыми. Зависимости параметров цепей от частоты называют частотными характеристиками (ЧХ) или частотными функциями цепи. • Каждый параметр цепи имеет свою частотную характеристику. Название ЧХ дают в соответствии с названием параметра, например ЧХ входного сопротивления, ЧХ коэффициента передачи напряжения. • ЧХ есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия. Как всякую комплексную функцию ее можно записать в одной из трех форм записи: показательной, алгебраической и тригонометрической (применяется редко).

Графики частотных характеристик • Для наглядного представления ЧХ представляют в графическом виде. Графики строят двумя способами. • 1. В виде двух графиков – АЧХ и ФЧХ. • При построении графиков АЧХ и ФЧХ пользуются следующими масштабами по осям: линейным и логарифмическим. На рис. 5. 6, а приведен график в линейном масштабе, на рис. 5. 6, б – в полулогарифмическом масштабе, а на рис. 5. 6, в – в логарифмическом. 2. В виде графика функции, построенного на комплексной плоскости координат, который называют годографом. Годограф – это геометрическое место точек, которые описывает конец вектора комплексной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до бесконечности. Рис. 5. 7. Для построения годографа обычно используют алгебраическую форму записи частотной характеристики Н(jω) = = Re[Н(jω)] + j Im[Н(jω)]. Далее для определенных частот ωi рассчитать значения Re[Н(jω)] = Н 1(ωi) и Im[Н(jω)] = Н 2(ωi), занести в табл. , нанести точки на компл. плоскость и, соединив их, получают график годографа (рис. 5. 7).

5. 4. Примеры расчета частотных характеристик цепей • Пример 1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис. 5. 8), рассчитать ее основные частотные характеристики: • 1. КЧХ - Zвх(j ), АЧХ - Zвх( ), ФЧХ - Z( ) - входного сопротивления; • 2. КЧХ - K(j ), АЧХ - K( ), ФЧХ - K( ) - коэффициента передачи напряжений.

Пример расчета входных и передаточных частотных характеристик R u 1 C u 2

5. 5. Резонансные цепи. Колебательные контуры • В электротехнике под резонансом понимают (режим работы) условие, при котором цепь, содержащая реактивные элементы (L и C), имеет резистивное входное сопротивление, т. е. при резонансе ток и напряжение находятся в одной фазе, а сдвиг по фазе равен нулю. • Такой резонанс называют фазовым. • Условие фазового резонанса: φ(ω0)=0 или X(ω0)=0 или G(ω0)=0, где ω0 ф –резонансная частота. • В информационной технике под резонансом чаще понимают амплитудный резонанс. Это такой режим при котором амплитуда напряжения или тока на реактивных элементах резко возрастает по сравнению с входным сигналом. • Условие амплитудного резонанса: Ах(ω0 А)→max, где ω0 А –резонансная частота. • Поскольку переходные характеристики резонансных цепей имеют колебательный характер, то резонансные цепи называют колебательными контурами. • Колебательные контуры используются для решения задач частотной избирательности. Под частотной избирательностью понимают способность цепи выделять сигналы узкого диапазона частот. • К простейшим колебательным контурам относят последовательный и параллельный колебательный контур, также систему связанных контуров.

5. 5. 1. Последовательный колебательный контур Im Um Рис. 5. 17 • R L C U 1 m L I 1 m Рис. 5. 18 RL C L L С С С Rут RС Рис. 5. 19 ω0 = (LC)– 1/2 Характер входного сопротивления Zвх(jω) зависит от частоты.

Свойства последовательного контура на резонансной частоте • 1) сопротивление имеет резистивный характер и минимально по сравнению с сопротивлением на других частотах. • 2) Начальные фазы напряжения и тока на контуре одинаковы φu = φi, сдвиг по фазе равен φ = φu – φi = 0. • 3) Амплитуда тока в контуре максимальна и равна • 4) Сопротивления реактивных элементов L и C одинаковы и равны ρ – характеристическому сопротивлению контура, т. е. • 5) Амплитуды напряжений на реактивных элементах контура одинаковы и в Q (добротность) раз больше (амплитуды напряжения на входе). , Q – добротность контура, . • Поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений. • 6) Амплитуды напряжений на реактивных элементах находятся в противофазах, а поэтому суммарное напряжение на реактивных элементах равно нулю: .

Резонансная характеристика последовательного колебательного контура • Это есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуде тока к комплексной амплитуде тока при резонансной частоте, т. е. Параметры контура S, Q и ω0 связаны соотношением: S = ω0 / Q Отсюда следует, что чем больше добротность, тем меньше полоса пропускания, тем лучше избирательные свойства колебательного контура.

Зависимость добротности контура Q от сопротивления источника сигнала (Ri) и сопротивления нагрузки (Rн) Ri R L Rн C • Последовательный колебательный контур как четырехполюсник. • На практике используются две схемы включения рис. 5. 25. Рис. 5. 23 C C Rн 2 Rн Рис. 5. 24 • Эквивалентная добротность меньше собственной добротности контура Q. Для того чтобы , необходимо: Подробный анализ показывает, что при высоких добротностях резонансные частоты обеих схем совпадают и равны ω0. K , K Q 1 0 L KС K KL С С 0 K С Рис. 5. 26 KL

5. 5. 2. Параллельный колебательный контур Ri I 1 m ICm ILm С L L RС С RL Z 1 а Uк. к Z 2 б Рис. 5. 27 Характер входного сопротивления Zвх(jω) зависит от частоты.

Свойства параллельного контура на резонансной частоте. 1. Сопротивление контура имеет резистивный характер, и его модуль имеет максимальное значение по сравнению с сопротивлением на других частотах. 2. Ток и напряжение совпадают по фазе. 3. Сопротивление реактивных элементов одинаково и равно. 4. Амплитуда тока через реактивные элементы в Q раз превышает ток во внешней цепи. Это вытекает из следующего: поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов ; 5) Токи через реактивные элементы сдвинуты по фазе на 180. . Построим графики АЧХ и ФЧХ входного сопротивления параллельного контура, которые определяются выражениями: АЧХ: ; ФЧХ: . Построенные графики приведены на рис. 5. 29.

Резонансная характеристика параллельного колебательного контура • Она представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды напряжения на контуре к амплитуде напряжения на резонансной частоте • • . Вид резонансной характеристики для последовательного и параллельного контуров одинаков, это их и объединяет. По характеру зависимости сопротивления от частоты они обладают противоположными свойствами (см. рис. 5. 29).

Влияние сопротивлений источника сигнала и нагрузки на добротность параллельного колебательного. Схема замещения контура с учетом этих добавочных элементов приведена на рис. 5. 30. RL RС Ri Rн L С Рис. 5. 30 Добротность контура с учетом паразитных элементов называется эквивалентной и определяется выражением Для того чтобы , необходимо:

Дисциплина: Электротехника и электроника Лектор: Погодин Дмитрий Вадимович Кандидат технических наук, доцент кафедры РИИТ (кафедра Радиоэлектроники и информационно-измерительной техники) Электротехника и электроника