Комплексные числа Рациональные числа Иррациональные числа

Комплексные числа

Рациональные числа Иррациональные числа + Действительные числа Комплексные числа

Вид комплексного числа Пусть уравнение имеет вид Х²+1=0 Найти корни уравнения Это уравнение имеет 2 корня Х²=-1 Х 1= i X 2=-i X 1, 2=±√(-1) i- комплексное число, такое , что i² = -1 ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ X=А + В· i X=Re(x) + Jm(x)· i

(А + В· i) А и В – действительные числа i- некоторый символ , такой, что 1 А – действительная часть В – мнимая часть i – мнимая единица i²= -

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексно сопряженные числа. Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В· i (Z) = Z Модуль комплексного числа Z = A + B i=

Тригонометрическая форма комплексного числа Z=r cos φ + i r sin φ |Z| =r – модуль комплексного числа φ- аргумент комплексного числа

Сложение и умножение комплексных чисел Алгебраическая форма Геометрическая форма x = Re(x)+Jm(x)i X= r 1 (cos φ1+ i sin φ1) Y= Re(y)+Jm(y)i Y= r 2(cos φ2+ i sin φ2) Сумма X +Y=(Re(x)+Re(y)) + (Jm(x)+Jm(y)) i Произведение X*Y= ( Re(x)Re(y) - Jm(x)Jm(y) ) + ( Re(x)Jm(y) + Re(y)Jm(x) ) i X*Y= r 1 r 2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)] Деление

Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠ 0 и любого натурального числа n

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.

Решение квадратного уравнения 1. 2. 3. 4. 5. Нет корней – a=b=0, c≠ 0 Множество корней - a=b=с=0 1 действительный корень a=0 b≠ 0 2 действительных корня а≠ 0 d≥ 0 2 комплексно-сопряженных корня

Решение квадратного уравнения 1 действительный корень a=0 b≠ 0

Решение квадратного уравнения 2 действительных корня а≠ 0 d≥ 0

Решение квадратного уравнения 2 комплексно-сопряженных корня a≠ 0 d<0

Вычисление значения полинома Задача Найти значение полинома для комплексного x Для вычисления используем схему Горнера Y(1) Y(n-1) Y(n) Алгоритм y=a[n]*x Для i от n-1 до 1 y=a[0]+y y=x*(a[i]+y)

Операции над комплексными числами • • Сложение комплексных чисел (Add(x, y)) Умножение комплексных чисел (Mult(x, y)) Получение сопряженного КЧ (Sopr(x)) Умножение на вещественное (Mult. R(x, a)) Выделение вещественной части (Re. C(x)) Выделение мнимой части (Jm. C(x)) Преобразование к комплексному (To. Comp(x)) Деление комплексных (Div. C(x, y)

Тип Complex = record im , re: real; end;

Сложение function Add(x, y: complex): complex; var z: complex; begin z. re: =x. re+y. re; z. im: =x. im+y. im; Add: =z; end;

Умножение function Mult(x, y: complex): complex; var z: complex; begin z. re : = x. re * y. re - x. im * y. im; z. im : = x. re * y. im + x. im * y. re; Mult: =z ; end;

Вычисление значения полинома function Polinom(x: complex; a: massiv; n: integer): complex; var ac, y: complex; i: integer; begin y: =Mult. R(x, a[n]); for i: =n-1 downto 1 do begin ac: =To. Comp(a[i], 0. 0); {y=x*(a[i]+y)} y: =mult(x, add(ac, y)); end; Polinom: =add(To. Comp(a[0], 0. 0), y); end;

Класс Complex class Complex {public: float Re, Jm; //действительная и мнимая части числа // конструктор - преобразователь в комплексное число Complex(float r=0. 0, float j=0. 0) {Re=r; Jm=j; } //сложение c комплексным Complex operator+(Complex y){return Complex( Re+y. Re, Jm+y. Jm); } //сложение с float Complex operator+(float y) {return Complex( Re+y, Jm); // умножение Complex operator*(Complex y) {return Complex( Re*y. Re-Jm*y. Jm, Re*y. Jm+Jm*y. Re); } // умножение на вещественное Complex operator*(float y) { return Complex(Re*y, Jm*y); } }

Использование класса Complex Polinom(float A[], int n, Complex x) { Complex y; int i; y=x*A[n]; for (i=n-1; i>0; i--) {y=x*(y+A[i]); } return y+A[0]; } function Polinom(x: complex; a: massiv; n: integer): complex; var ac, y: complex; i: integer; begin y: =Mult. R(x, a[n]); for i: =n-1 downto 1 do begin ac: =To. Comp(a[i], 0. 0); {y=x*(a[i]+y)} y: =mult(x, add(ac, y)); end; Polinom: =add(To. Comp(a[0], 0. 0), y); end;